Question

19．已知圓C：x²+（y-3）²=6，直線1：mx-y+1=0
（1）若圓C與直線l相交于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）若曲線C的切線在兩坐標(biāo)軸上有相等的截距，求此切線方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出A，B，M的坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程和圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M的坐標(biāo)與m的關(guān)系，消參可得弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）由已知圓的方程求出圓心坐標(biāo)和半徑，然后分圓的切線過(guò)原點(diǎn)和不過(guò)原點(diǎn)討論，再由點(diǎn)到直線的距離公式列式求出待定系數(shù)法，則切線方程可求．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{mx-y+1=0}\\{{x}^{2}+（y-3）^{2}=6}\end{array}\right.$，得（1+m²）x²-4mx-2=0．
則$x=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{2m}{1+{m}^{2}}$，
由點(diǎn)M（x，y）在直線mx-y+1=0上，當(dāng)x≠0時(shí)，m=$\frac{y-1}{x}$，代入$x=\frac{2m}{{m}^{2}+1}$，
得x²+（y-1）²=2（y-1），整理得：x²+y²-4y+3=0．
當(dāng)x=0時(shí)，y=1，上式成立．
∴弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為：x²+y²-4y+3=0；
（2）圓C：x²+（y-3）²=6的圓心坐標(biāo)C（0，3），半徑為$\sqrt{6}$，
若切線過(guò)原點(diǎn)，設(shè)為y=kx，則$\frac{|-3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=\sqrt{6}$，解得k=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$；
若切線不過(guò)原點(diǎn)，設(shè)切線方程為x+y=a，則
$\frac{|1×0+1×3-a|}{\sqrt{2}}=\sqrt{6}$，解得a=3$±2\sqrt{3}$．
∴切線方程為y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}x$，x+y=3+$2\sqrt{3}$，x+y=3-$2\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，訓(xùn)練了代入法求軌跡方程，是中檔題．