Question

19．在△ABC中，點M是邊BC的中點．若∠A=120°，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-$\frac{1}{2}$，則|${\overrightarrow{AM}}$|的最小值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊為a，b，c，由向量數(shù)量積的定義可得bc=1，運用向量中點表示，由向量的平方即為模的平方，結(jié)合基本不等式可得最小值．

解答 解：設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊為a，b，c，
∠A=120°，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=cbcosA=-$\frac{1}{2}$bc=-$\frac{1}{2}$，
即bc=1，
點M是邊BC的中點，可得：
$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
|$\overrightarrow{AM}$|²=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AC}$²+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$）
=$\frac{1}{4}$（c²+b²-1）≥$\frac{1}{4}$（2bc-1）=$\frac{1}{4}$×（2-1）=$\frac{1}{4}$，
即有|$\overrightarrow{AM}$|≥$\frac{1}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)b=c時，取得最小值$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查向量的中點表示，考查向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)，以及基本不等式的運用：求最值，考查運算能力，屬于中檔題．