Question

14．如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=20，BC=13，AA₁=12，過點(diǎn)A₁D₁的平面α與棱AB和CD分別交于點(diǎn)E、F，四邊形A₁EFD₁為正方形．
（1）在圖中請畫出這個(gè)正方形（注意虛實(shí)線，不必寫作法），并求AE的長；
（2）問平面α右側(cè)部分是什么幾何體，并求其體積．

Answer 1

分析 （1）由長方體的結(jié)構(gòu)特征能求出交線圍成的正方形A₁EFD₁，在Rt△A₁AE中，由勾股定理能求出AE的長．
（2）平面α右側(cè)部分的幾何體是以A₁EBB₁和為底面的直四棱柱，由棱柱體積公式得該直四棱柱的體積．

解答 解：（1）交線圍成的正方形A₁EFD₁如圖所示（不分實(shí)虛線的酌情給分）…（3分）
∵A₁D₁=A₁E=13，A₁A=12，
在Rt△A₁AE中，
由勾股定理知AE=$\sqrt{{A}_{1}{E}^{2}-A{{A}_{1}}^{2}}$=5．…（6分）
（2）平面α右側(cè)部分的幾何體是以A₁EBB₁和為底面的直四棱柱，（棱柱或四棱柱均不扣分）
由棱柱體積公式得該直四棱柱的體積：
V=${S}_{梯形{A}_{1}EB{B}_{1}}×BC$=$\frac{1}{2}×（20+15）×12$×13=2730．
（由體積之差法也不扣分）…．（12分）

點(diǎn)評 本題考查滿足條件的正方形的作法，考查線段長的求法，考查幾何體的體積的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間思維能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．