9.如圖所示,在三棱錐S-ABC中,△ABC是等腰三角形,AB=BC=2a,∠ABC=120°,SA=2a,且SA⊥平面ABC,則點A到平面SBC的距離為( 。
A.$\frac{3a}{2}$B.$\frac{2\sqrt{21}}{7}$aC.$\frac{5a}{2}$D.$\frac{7a}{2}$

分析 運用余弦定理,求出AC,運用勾股定理求出SB,SC,再由余弦定理,求得cos∠SBC,再求sin∠SBC,再由面積公式,求得△SBC的面積,設點A到平面SBC有距離為d,再由VS-ABC=VA-SBC,運用體積公式,即可計算得到d.

解答 解:由于△ABC是等腰三角形,AB=BC=2a,∠ABC=120°,
則運用余弦定理AC=2$\sqrt{3}$a,
SA⊥平面ABC,則SA⊥AB,SA⊥AC,則SB=2$\sqrt{2}$a,SC=4a,
則三角形SBC中,cos∠SBC=$\frac{8{a}^{2}+4{a}^{2}-16{a}^{2}}{2×2\sqrt{2}a•2a}$=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$.
則sin∠SBC=$\frac{\sqrt{14}}{4}$,
即有S△SBC=$\frac{1}{2}•2\sqrt{2}a•2a•\frac{\sqrt{14}}{4}$=$\sqrt{7}$a2,
則設點A到平面SBC有距離為d,
則由VS-ABC=VA-SBC,
即有$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•2a•2a•\frac{\sqrt{3}}{2}•2a$=$\frac{1}{3}$d•S△SBC,
即有d=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$a.
即有點A到平面SBC有距離為$\frac{2\sqrt{21}}{7}$a.
故選:B.

點評 本題考查空間線面垂直的性質(zhì)及運用,考查勾股定理和余弦定理、面積公式的運用,考查棱錐體積的轉(zhuǎn)換和公式的運用,屬于中檔題.

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