Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+|x-a|+b，a，b∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，在[1，+∞）單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)b∈[0，1]及任意的x∈[-3，3]，不等式|f（x）|≤2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，在[1，+∞）單調(diào)遞減，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性建立方程關(guān)系即可求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）結(jié)合絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，利用構(gòu)造函數(shù)法進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由題易知a＜0，--------------------------------------（2分）
所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+x-a+b=a（x+\frac{1}{2a}）^{2}-a+b-\frac{1}{4a}，}&{x≥a}\\{a{x}^{2}-x+a+b=a（x-\frac{1}{2a}）^{2}+a+b-\frac{1}{4a}}&{x＜a}\end{array}\right.$，
作出示意圖，故可知-$\frac{1}{2a}=1$，所以a=-$\frac{1}{2}$；-------------------------（5分）
（Ⅱ）因?yàn)閨f（x）|≤2，所以-2≤ax²+|x-a|+b≤2，
又因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)b∈[0，1]及任意的x∈[-3，3]，上式恒成立，
所以-2≤ax²+|x-a|≤1，（*）------------------------------------（7分）
記g（x）=ax²+|x-a|，
所以$\left\{\begin{array}{l}{-2≤g（0）≤1}\\{-2≤g（3）≤1}\\{-2≤g（-3）≤1}\end{array}\right.$，可得-$\frac{1}{2}$≤a≤-$\frac{1}{5}$，-----（9分）
又（*）式可化為-ax²-2≤|x-a|≤-ax²+1，
記h₁（x）=-ax²+1，h₂（x）=-ax²-2，k（x）=|x-a|，
由-$\frac{1}{2}$≤a≤-$\frac{1}{5}$，可知，h₂（x）＜0，
所以命題轉(zhuǎn)化為：只需滿足以下條件
①-ax²-2=-x+a的較小根小于或等于-3，
②-ax²+1=x-a的較小根大于或等于3（或是無(wú)實(shí)根），-------（12分）

由①得$\frac{1-\sqrt{1-4a（a+2）}}{2a}$≤-3，解得$-\frac{1}{2}$≤a≤0；
由②得$\left\{\begin{array}{l}{1+4a（a+1）≥0}\\{\frac{-1+\sqrt{1+4a（a+1）}}{2a}≥3}\end{array}\right.$或1+4a（a+1）≤0，解得a=-$\frac{1}{2}$------------（14分）
綜上可知a的取值范圍是a=-$\frac{1}{2}$．-------------------------------------------（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用以及絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，以及不等式恒成立問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．