在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且tanA+tanB=
2sinC
cosA
．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）已知
a
c
+
c
a
=3，求
1
tanA
+
1
tanC
的值．
考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理
專題：解三角形
分析：（Ⅰ）切化弦，可整理為tanA+tanB=
sinC
cosAcosB
，結(jié)合已知tanA+tanB=
2sinC
cosA
，可求得cosB=
1
2
，在△ABC中，可求得B的值；
（Ⅱ）由
a
c
+
c
a
=3，易求
b2
ac
=2，利用正弦定理可得
b2
ac
=
sin2B
sinAsinC
=
3
4sinAsinC
=2，從而可求得
1
tanA
+
1
tanC
的值．
解答： 解：（Ⅰ）∵tanA+tanB=
sinA
cosA
+
sinB
cosB
=
sinAcosB+cosAsinB
cosAcosB
=
sin(A+B)
cosAcosB
=
sinC
cosAcosB
，…（3分）
∵tanA+tanB=
2sinC
cosA
，
∴
sinC
cosAcosB
=
2sinC
cosA
，
∴cosB=
1
2
，
∵0＜B＜π，
∴B=
π
3
．…（6分）
（Ⅱ）∵
a
c
+
c
a
=
a2+c2
ac
=
b2+2accosB
ac
=
b2+2ac×
1
2
ac
=3，
∴
b2
ac
=2，…（9分）
而
b2
ac
=
sin2B
sinAsinC
=
sin2
π
3
sinAsinC
=
3
4sinAsinC
，
∴sinAsinC=
3
8
．…（12分）
∴
1
tanA
+
1
tanC
=
cosA
sinA
+
cosC
sinC
=
sin(A+C)
sinAsinC
=
sinB
sinAsinC
=
3
2sinAsinC
=
4
3
3
．…（14分）
點(diǎn)評：本題考查正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C：（x-2）2+y2=1，點(diǎn)P在直線l：x+y+1=0上，若過點(diǎn)P存在直線m與圓C交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A為PB的中點(diǎn)，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)x0的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某園藝師培育了兩種珍稀樹苗A與B，株數(shù)分別為12與18，現(xiàn)將這30株樹苗的高度編寫成如莖葉圖（單位：cm）：

在這30株樹苗中，樹高在175cm以上（包括175cm）定義為“生長良好”，樹高在175cm以下（不包括175cm）定義為“非生長良好”，且只有“B生長良好”的才可以出售．
（1）對于這30株樹苗，如果用分層抽樣的方法從“生長良好”和“非生長良好”中共抽取5株，再從這5株中任選2株，那么至少有一株“生長良好”的概率是多少？
（2）若從所有“生長良好”中選3株，用X表示所選中的樹苗中能出售的株樹，試寫出X的分布列，并求X的數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞），g（x）=x3-ax．
（1）求f（x）的最大值；
（2）若對?x1∈（0，+∞），總存在x2∈[1，2]使得f（x1）≤g（x2）成立，求a的取值范圍；
（3）證明不等式：（
1
n
）n+（
2
n
）n+…+（
n
n
）n＜
e
e-1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-x+alnx（其中a為常數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù) f（x）的最值；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線C：x2=4
3
y的焦點(diǎn)重合，F(xiàn)1F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且離心率e=
1
2
，直線l：y=kx+m（km＜0）與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若AB是橢圓C經(jīng)過原點(diǎn)O的弦，AB∥l，且
|AB|2
|MN|
=4．是否存在直線l，使得
OM
•
ON
=-2？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)u=（x，y）=|ex-y|-y|x-lny|，x，y∈R．
（1）若a＞0，令f（x）=（x，a），判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）若0＜a＜b，令F（x）=u（x，a）-u（x，b），試求函數(shù)F（x）的最小值；
（3）記（2）中的最小值為T（a，b），證明：T（a，b）＞0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x2，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x+1）=f（x）+f（1），且若直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有5個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果是（　　）
A、5B、7C、9D、11

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同步練習(xí)冊答案