Question

對于任意實數(shù)x，不等式|x+2|+|x-2|≥a恒成立．
（1）求a的取值范圍；
（2）當a取最大值時，求f（x）=

-x2- 1 2 ax+3

的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）利用絕對值不等式的幾何意義可求得|x+2|+|x-2|≥4，從而可得a的取值范圍；
（2）令g（x）=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，由g（x）≥0及二次函數(shù)的單調(diào)性，復合函數(shù)的單調(diào)性可求得f（x）=

-x2- 1 2 ax+3

的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）∵|x+2|+|x-2|≥|（x+2）+（2-x）|=4，對于任意實數(shù)x，不等式|x+2|+|x-2|≥a恒成立，
∴a≤4；
（2）∵a的最大值為4，
∴f（x）=

-x2-2x+3

，
令g（x）=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，其對稱軸方程為x=-1；
由g（x）≥0，得-3≤x≤1，
∴g（x）=-x²-2x+3在區(qū)間[-3，-1]單調(diào)遞增，在區(qū)間[-1，1]單調(diào)遞減，
由復合函數(shù)的單調(diào)性知，f（x）=

-x2- 1 2 ax+3

在區(qū)間[-3，-1]單調(diào)遞增，在區(qū)間[-1，1]單調(diào)遞減．
即f（x）=

-x2- 1 2 ax+3

的增區(qū)間為[-3，-1]，減區(qū)間為[-1，1]．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查復合函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．