Question

已知函數(shù)f（x-1）=x²-2（a+1）x-1，a∈R．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）解關(guān)于x的不等式f（x）＞x．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：分類討論,換元法,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）用換元法，設(shè)x-1=t，求出f（t），即得f（x）；
（Ⅱ）由f（x）＞x，得關(guān)于x的不等式，對(duì)字母系數(shù)a進(jìn)行討論，求出不等式的解集即可．

解答： 解：（Ⅰ）令x-1=t，則x=t+1，
∴f（t）=（t+1）²-2（a+1）（t+1）-1，
整理，得f（t）=t²-2at-（2a+2），
即f（x）=x²-2ax-（2a+2）；（4分）
（Ⅱ）由f（x）＞x得x²-（2a+1）x-（2a+2）＞0，
即（x-2a-2）（x+1）＞0，
當(dāng)2a+2＞-1，即a＞-

3

2

時(shí)，不等式的解為x＞2a+2或x＜-1；
當(dāng)2a+2=-1，即a=-

3

2

時(shí)，不等式的解為x≠-1；
當(dāng)2a+2＜-1，即a＜-

3

2

時(shí)，不等式的解為x＞-1或x＜2a+2．
綜上，當(dāng)a＞-

3

2

時(shí)，原不等式的解集為{x|x＞2a+2或x＜-1}；
當(dāng)a=-

3

2

時(shí)，解集為{x|x≠-1}；
當(dāng)a＜-

3

2

時(shí)，解集為{x|x＞-1或x＜2a+2}．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)的解析式與解含有字母系數(shù)的不等式的解法問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)用換元法求函數(shù)的解析式，用分類討論方法解含有字母系數(shù)的不等式，是易錯(cuò)題．