Question

7．正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}中，a₂₀₁₆=a₂₀₁₅+2a₂₀₁₄，若a_ma_n=16a₁²，則$\frac{4}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值等于（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{5}{3}$
• D． $\frac{13}{6}$

Answer 1

分析 設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，（q＞0），運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得q=2，由條件可得m+n=6，運(yùn)用乘1法和基本不等式，計(jì)算即可得到所求最小值．

解答 解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，（q＞0），
由a₂₀₁₆=a₂₀₁₅+2a₂₀₁₄，得q²=q+2，
解得q=2或q=-1（舍去）．
又因?yàn)閍_ma_n=16a₁²，即a₁²•2^m+n-2=16a₁²，
所以m+n=6．
因此$\frac{4}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{6}（{\frac{4}{m}+\frac{1}{n}}）（{m+n}）$
=$\frac{1}{6}（{5+\frac{4n}{m}+\frac{m}{n}}）$≥$\frac{1}{6}$（5+2$\sqrt{\frac{4n}{m}•\frac{m}{n}}$）=$\frac{3}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)m=4，n=2時(shí)，等號成立．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查最值的求法，注意運(yùn)用乘1法和基本不等式，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．