Question

17．已知四面體ABCD的頂點(diǎn)都在球O球面上，且球心O在BC上，平面ADC⊥平面BDC，AD=AC=BD，∠DAC=90°，若四面體ABCD的體積為$\frac{4}{3}$，則球O的體積為$4\sqrt{3}π$．

Answer 1

分析 利用四面體ABCD的體積為$\frac{4}{3}$，求出球的半徑，即可求出球O的體積．

解答 解：由題意，設(shè)AD=AC=BD=x，
∵∠DAC=90°，∴CD=$\sqrt{2}$x，
∵平面ADC⊥平面BDC，
∴A到平面BDC的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∵球心O在BC上，
∴BD⊥CD，
∴四面體ABCD的體積為$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}x•\sqrt{2}x•\frac{\sqrt{2}}{2}x$=$\frac{4}{3}$，
∴x=2，
∴OA=$\sqrt{1+2}$=$\sqrt{3}$，
∴球O的體積為$\frac{4}{3}•π•（\sqrt{3}）^{3}$=$4\sqrt{3}π$．
故答案為：$4\sqrt{3}π$．

點(diǎn)評(píng) 本題給出四面體ABCD的體積為$\frac{4}{3}$，考查球O的體積，正確求出球的半徑是關(guān)鍵．