Question

7．已知數列{a_n}滿足a₁=3，a_n•a_n-1=2a_n-1-1（n∈N^*，n≥2）．
（1）求a₂，a₃ ，a₄的值；
（2）求證數列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是等差數列，記T_n為數列{a_n}的前n項之積，求T_n 的值．

Answer 1

分析 （1）通過a_n•a_n-1=2a_n-1-1（n∈N^*，n≥2）可知a_n+1=2-$\frac{1}{{a}_{n}}$，通過a₁=3直接代入計算即可；
（2）通過（1）猜想a_n=$\frac{2n+1}{2n-1}$并用數學歸納法證明，代入計算可知$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{2n-1}{2}$，進而可知數列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是以$\frac{1}{2}$為首項、1為公差的等差數列，利用累乘法計算可知結論．

解答 （1）解：∵a_n•a_n-1=2a_n-1-1（n∈N^*，n≥2），
∴a_n+1=$\frac{2{a}_{n}-1}{{a}_{n}}$=2-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
又∵a₁=3，
∴a₂=2-$\frac{1}{{a}_{1}}$=2-$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{3}$，
a₃ =2-$\frac{1}{{a}_{2}}$=2-$\frac{3}{5}$=$\frac{7}{5}$，
a₄=2-$\frac{1}{{a}_{3}}$=2-$\frac{5}{7}$=$\frac{9}{7}$；
（2）證明：由（1）猜想：a_n=$\frac{2n+1}{2n-1}$．
下面用數學歸納法來證明：
①當n=1時，命題顯然成立；
②假設當n=k（k≥2）時，有a_k=$\frac{2k+1}{2k-1}$，
∴a_k+1=2-$\frac{1}{{a}_{k}}$=2-$\frac{2k-1}{2k+1}$=$\frac{2k+3}{2k+1}$，
即當n=k+1時，命題也成立；
由①、②可知a_n=$\frac{2n+1}{2n-1}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{\frac{2n+1}{2n-1}-1}$=$\frac{2n-1}{2}$，
∴數列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是以$\frac{1}{2}$為首項、1為公差的等差數列，
又∵T_n為數列{a_n}的前n項之積，
∴T_n =$\frac{3}{1}$•$\frac{5}{3}$•…•$\frac{2n+1}{2n-1}$=2n+1．

點評 本題考查數列的通項，考查數學歸納法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．