Question

2．如圖，PA垂直于矩形ABCD所在平面，AE⊥PB，垂足為E，EF⊥PC垂足為F．
（Ⅰ）設平面AEF∩PD=G，求證：PC⊥AG；
（Ⅱ）設PA=$\sqrt{6}，AB=\sqrt{3}$，M是線段PC的中點，求證：DM∥平面AEC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明BC⊥平面ABP，可得AE⊥BC，再證明AE⊥平面PBC，PC⊥平面AEFG，即可證明：PC⊥AG；
（Ⅱ）取PE中點N，連結MN，ND，BD，AC，設BD∩AC=O，連結EO，證明平面MND∥平面AEC，即可證明：DM∥平面AEC．

解答 證明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥PA；
又∵BC⊥AB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面ABP；
而AE?平面ABP，∴AE⊥BC，
又∵AE⊥PB，PB∩BC=B，∴AE⊥平面PBC；
∵PC?平面PBC，∴PC⊥AE，
又∵PC⊥EF，EF∩AE=E，∴PC⊥平面AEFG，
∵AG?平面AEFG，∴PC⊥AG…（6分）
（Ⅱ）∵$PA=\sqrt{6}，AB=\sqrt{3}，PA⊥AB，AE⊥PB$，
∴PE=2，BE=1，即PE=2EB，
取PE中點N，連結MN，ND，BD，AC，設BD∩AC=O，連結EO，
則在△PEC中，PN=NE，PM=MC，∴MN∥EC，
同理ND∥EO，
∵MN∩ND=N，∴平面MND∥平面AEC，
又∵DM?平面DMN，∴DM∥平面AEC…（12分）

點評 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面、面面平行的判定，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．