【題目】橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，，面積的最大值為

（1）求橢圓的方程；

（2）是橢圓上與不重合的一點(diǎn)，證明：直線的斜率之積為定值；

（3）當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，軸，垂足為，連接并延長交于點(diǎn)，求的面積的最大值.

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)求出a，根據(jù)面積關(guān)系求出b；

（2）設(shè)出點(diǎn)與的坐標(biāo)，滿足橢圓方程，計(jì)算兩個(gè)斜率之積即可得到定值；

（3）先證明是直角三角形，用直角邊乘積的一半表示面積，結(jié)合基本不等式或勾型函數(shù)求面積最值.

（1）由題可設(shè)橢圓的方程，

，，

設(shè)，

面積，

最大值為2，即，解得，

所以橢圓的方程為：；

（2）設(shè)是橢圓上與不重合的一點(diǎn)，

，，兩式作差：，

即：

則直線的斜率之積，

所以直線的斜率之積為定值；

（3）點(diǎn)在第一象限，，設(shè)直線的方程，

由得：，

得，，

直線的斜率，其方程為，

由得：

設(shè)，則是方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理：

，

，即，

所以，

所以的面積

，設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，

，

根據(jù)勾型函數(shù)性質(zhì)：函數(shù)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，

取得最大值，

即當(dāng)時(shí)，的面積取最大值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos2B＋cosB＝1－cosAcosC.

（1）求證：a，b，c成等比數(shù)列；

（2）若b＝2，求△ABC的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公比q＞0，S2=2a2-2，S3=a4-2，數(shù)列{an}滿足a2=4b1，nbn+1-（n+1）bn=n2+n，（n∈N*）.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）證明數(shù)列{}為等差數(shù)列；

（3）設(shè)數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為：Cn=，其前n項(xiàng)和為Tn，求T2n.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在等差數(shù)列中，，．令，數(shù)列的前項(xiàng)和為.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）是否存在正整數(shù)，（）,使得，，成等比數(shù)列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在幾何體中，四邊形為菱形，對角線與的交點(diǎn)為，四邊形為梯形， .

（Ⅰ）若，求證： 平面；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）若， ， ，求與平面所成角.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】司機(jī)在開機(jī)動車時(shí)使用手機(jī)是違法行為，會存在嚴(yán)重的安全隱患，危及自己和他人的生命. 為了研究司機(jī)開車時(shí)使用手機(jī)的情況，交警部門調(diào)查了名機(jī)動車司機(jī)，得到以下統(tǒng)計(jì)：在名男性司機(jī)中，開車時(shí)使用手機(jī)的有人，開車時(shí)不使用手機(jī)的有人；在名女性司機(jī)中，開車時(shí)使用手機(jī)的有人，開車時(shí)不使用手機(jī)的有人．

（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為開車時(shí)使用手機(jī)與司機(jī)的性別有關(guān)；

開車時(shí)使用手機(jī)

開車時(shí)不使用手機(jī)

合計(jì)

男性司機(jī)人數(shù)

女性司機(jī)人數(shù)

合計(jì)

（2）以上述的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)總體，現(xiàn)交警部門從道路上行駛的大量機(jī)動車中隨機(jī)抽檢3輛，記這3輛車中司機(jī)為男性且開車時(shí)使用手機(jī)的車輛數(shù)為，若每次抽檢的結(jié)果都相互獨(dú)立，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

參考公式與數(shù)據(jù)：

參考數(shù)據(jù)：

參考公式

span>，其中.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖①，在直角梯形ABCD中，AD＝1，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，連接AE，AC，DE，得到如圖②所示的幾何體.

(1)求證：AB⊥平面ADC；

(2)若AC與平面ABD所成角的正切值為，求二面角B—AD—E的余弦值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè),分別為橢圓:的左右焦點(diǎn),已知橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn),的距離之和為4.

(1)求橢圓的方程;

(2)過點(diǎn)作直線交橢圓于,兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,連結(jié)并延長交橢圓于點(diǎn)(為坐標(biāo)原點(diǎn)),若,,等比數(shù)列,求線段的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，曲線由曲線和曲線組成，其中點(diǎn)為曲線所在圓錐曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為曲線所在圓錐曲線的焦點(diǎn)．

（1）若，求曲線的方程；

（2）如圖，作直線平行于曲線的漸近線，交曲線于點(diǎn)，求證：弦的中點(diǎn)必在曲線的另一條漸近線上；

（3）對于（1）中的曲線，若直線過點(diǎn)交曲線于點(diǎn)，求的面積的最大值．

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