Question

4．某市一所高中隨機(jī)抽取部分高一學(xué)生調(diào)查其上學(xué)路上所需時(shí)間（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中上學(xué)路上所需時(shí)間的范圍是[0，100]，樣本數(shù)據(jù)分組為[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．

（Ⅰ）求直方圖中x的值；     
（Ⅱ）如果上學(xué)路上所需時(shí)間不少于1小時(shí)的學(xué)生可申請(qǐng)?jiān)趯W(xué)校住宿，若招生1200名，請(qǐng)估計(jì)新生中有多少名學(xué)生可以申請(qǐng)住宿；     
（Ⅲ）從學(xué)校的高一學(xué)生中任選4名學(xué)生，這4名學(xué)生中上學(xué)路上所需時(shí)間少于20分鐘的人數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．（以直方圖中的頻率作為概率）

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直方圖概率的和為1，直接求解x即可．
（Ⅱ）新生上學(xué)所需時(shí)間不少于1小時(shí)的頻率，然后求解1200名新生中有144名學(xué)生申請(qǐng)住宿的人數(shù)．（Ⅲ）X的可能取值為0，1，2，3，4求出概率，得到分布列，然后求解期望．

解答 （本小題滿(mǎn)分12分）
解（Ⅰ）由直方圖可得：20×x+0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20=1．
所以 x=0.0125．   …（3分）
（Ⅱ）新生上學(xué)所需時(shí)間不少于1小時(shí)的頻率為：
0.003×2×20=0.12，
因?yàn)?200×0.12=144，
所以1200名新生中有144名學(xué)生可以申請(qǐng)住宿．…（6分）
（Ⅲ）X的可能取值為0，1，2，3，4
由直方圖可知，每位學(xué)生上學(xué)所需時(shí)間少于20分鐘的概率為$\frac{1}{4}$，
$P（X=0）={C}_{4}^{0}（{\frac{3}{4}）}^{4}=\frac{81}{256}$，$P（X=1）=C_4^1（{\frac{1}{4}}）{（{\frac{3}{4}}）^3}=\frac{27}{64}$，$P（X=2）=C_4^2{（{\frac{1}{4}}）^2}{（{\frac{3}{4}}）^2}=\frac{27}{128}$，$P（X=3）=C_4^3{（{\frac{1}{4}}）^3}（{\frac{3}{4}}）=\frac{3}{64}$，$P（X=4）={（{\frac{1}{4}}）^4}=\frac{1}{256}$． （10分）
所以X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{81}{256}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{128}$	$\frac{3}{64}$	$\frac{1}{256}$

EX=$0×\frac{81}{256}+1×\frac{27}{64}+2×\frac{27}{128}+3×\frac{3}{64}+4×\frac{1}{256}=1$．（或$EX=4×\frac{1}{4}=1$）
所以X的數(shù)學(xué)期望為1．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖，離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，考查計(jì)算能力．