Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)直線C₁：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1（a＞b＞0）與坐標(biāo)軸所圍成的封閉圖形的面積為1，直線C₁上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的最短距離為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，以曲線C₁與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓記為Γ．
（1）求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）己知直線l：y=kx+m與橢圓Γ交于不同兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)G是線段AB中點(diǎn)，射線OG交軌跡Γ于點(diǎn)Q，且$\overrightarrow{OQ}$=λ$\overrightarrow{OG}$，λ∈R，若△AOB的面積為1，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得ab=2，再由點(diǎn)到直線的距離公式，可得a2+b2=5，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由直線代入橢圓方程，消去y，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，由已知條件得m≠0，計(jì)算|x₁-x₂|，由此能求出△AOB的面積，解方程可得所求．

解答 解：（1）直線C₁：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（a，0），（0，b），
即有$\frac{1}{2}$ab=1，即ab=2，
又原點(diǎn)到直線的距離為$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
即為$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
解得a=2，b=1，
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直線y=kx+m代入橢圓方程，消去y，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∴x₁+x₂=$\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$①
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{2m}{1+4{k}^{2}}$，
又由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得G（$\frac{-4km}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{m}{1+4{k}^{2}}$），
將Q（$\frac{-4λkm}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{λm}{1+4{k}^{2}}$）代入橢圓方程，化簡(jiǎn)，得λ²m²=1+4k²，②．
②解：由①②得m≠0，λ＞1且|x₁-x₂|=$\frac{4\sqrt{1+4{k}^{2}-{m}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$，③
結(jié)合②③，得S_△AOB=$\frac{1}{2}$|m|•|x₁-x₂|=$\frac{2\sqrt{{λ}^{2}-1}}{{λ}^{2}}$，λ∈（1，+∞），
由S_△AOB=1，解得λ=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查向量的共線的坐標(biāo)表示和三角形的面積公式的運(yùn)用，屬于中檔題．