Question

2．如圖，在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，側(cè)棱AA₁=2，D、E分別是CC₁與A₁B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．
（1）求A₁B與平面ABD所成角的正弦值；
（2）求點(diǎn)A₁到平面AED的距離．
（3）若P為側(cè)棱CC₁上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），平面AEP與平面BCC₁B₁所成銳角為θ，求sinθ的最小值．

Answer 1

分析 （1）以CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，設(shè)CA=2a，求出平面ABD的一個(gè)法向量，求出$\overrightarrow{B{A}_{1}}$，通過(guò)向量數(shù)量積求解A₁B與平面ABD所成角的正弦值．
（2）求出平面AED的一個(gè)法向量，$\overrightarrow{D{A_1}}=（2，0，1）$，然后利用公式求解即可．
（3）設(shè)CP=h（0≤h≤2），求出平面BCC₁B₁的一個(gè)法向量，平面AEP的一個(gè)法向量，然后利用數(shù)量積求解sinθ的最小值．

解答 解：（1）以CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，設(shè)CA=2a，
則A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1）；A₁（2a，0，2）E（a，a，1）G（$\frac{2a}{3}，\frac{2a}{3}，\frac{1}{3}$）．∴$\overrightarrow{GE}=（\frac{a}{3}，\frac{a}{3}$，∴$\overrightarrow{GE}•\overrightarrow{BD}=-\frac{2}{3}{a^2}+\frac{2}{3}=0$，解得a=1．平面ABD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{GE}=（\frac{1}{3}，\frac{1}{3}，\frac{2}{3}）$，
∴$\overrightarrow{B{A_1}}=（2，-2，2）$，$cos＜\overrightarrow{B{A_1}}，\overrightarrow{GE}＞=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，
A₁B與平面ABD所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$（4分）
（2）平面AED的一個(gè)法向量為$\overrightarrow n=（1，-1，2）$，$\overrightarrow{D{A_1}}=（2，0，1）$
點(diǎn)A₁到平面AED的距離$d=\frac{{|\overrightarrow n•\overrightarrow{DA}|}}{|\overrightarrow n|}=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$（8分）
（3）設(shè)CP=h（0≤h≤2），則P（0，0，h），
平面BCC₁B₁的一個(gè)法向量$\overrightarrow{m_1}=（2，0，0）$，
平面AEP的一個(gè)法向量$\overrightarrow{m_2}=（h，h-2，2）$，
則$cosθ=\frac{2h}{{2\sqrt{{h^2}+{{（h-2）}^2}+4}}}=\frac{h}{{\sqrt{2{h^2}-4h+8}}}$
當(dāng)h=0時(shí)，cosθ=0，當(dāng)h≠0時(shí)，$cosθ=\frac{1}{{\sqrt{\frac{8}{h^2}-\frac{4}{h}+2}}}=\frac{1}{{\sqrt{8{{（\frac{1}{h}-\frac{1}{4}）}^2}+\frac{3}{2}}}}≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
h=2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)$sinθ≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}$（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間向量數(shù)量積的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．