Question

10．已知F₁，F₂為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的左、右焦點，M為橢圓上一點，且△MF₁F₂的內切圓的周長等于3π，若滿足條件的點M恰好有2個，則a²=25．

Answer 1

分析 設△MF₁F₂的內切圓的半徑等于r，由圓的周長求得r的值，由橢圓的定義可得：|MF₁|+|MF₂|=2a，然后利用△MF₁F₂的面積相等列式求得a²．

解答 解：設△MF₁F₂的內切圓的半徑等于r，則由題意可得：2πr=3π，∴r=$\frac{3}{2}$．
由橢圓的定義可得：|MF₁|+|MF₂|=2a，
又c²=a²-b²=a²-16，∴c=$\sqrt{{a}^{2}-16}$，
∵滿足條件的點M恰好有2個，∴M是橢圓的短軸頂點，即|y_M|=4，
△MF₁F₂的面積等于$\frac{1}{2}$2c•|y_M|=4$\sqrt{{a}^{2}-16}$．
又△MF₁F₂的面積等于$\frac{1}{2}$（|MF₁|+|MF₂|+2c）r=（a+c）r=$\frac{3}{2}（a+\sqrt{{a}^{2}-16}）$．
由$\frac{3}{2}（a+\sqrt{{a}^{2}-16}）$=4$\sqrt{{a}^{2}-16}$．
解得：a²=25．
故答案為：25．

點評 本題考查橢圓的定義、標準方程以及簡單性質的應用，利用等積法是解題的關鍵，是中檔題．