Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線與橢圓相交于，兩點．

（1）當直線的斜率時，求的面積；

（2）當時，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）先根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求出，的坐標，進而可求出直線的方程，然后聯(lián)立方程，結合根與系數(shù)的關系即可求得的面積；

（2）先由題意得到直線的斜率不存在時不滿足題意，再設出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)條件求出的取值范圍，最后利用換元法求出的取值范圍即可．

（1）由橢圓，可得左、右焦點分別為，，

因為直線的斜率，所以直線的方程為，即，

聯(lián)立方程，得，消去，化簡、整理得，

設，，則，，

所以，即的面積為．

（2）當直線的斜率不存在時，直線的方程為，所以不妨設，，

可得，不滿足，

所以直線的斜率存在，設直線，

聯(lián)立方程，得，消去得，

．

設，，則，，

所以

．

又由，解得．

可得，

令，則，可得，

因為，所以，

即的取值范圍是．