【題目】對(duì)于給定的數(shù)列,,設(shè),即是,,…,中的最大值,則稱數(shù)列是數(shù)列,的“和諧數(shù)列”.
(1)設(shè),,求,,的值,并證明數(shù)列是等差數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列,都是公比為q的正項(xiàng)等比數(shù)列,若數(shù)列是等差數(shù)列,求公比q的取值范圍;
(3)設(shè)數(shù)列滿足,數(shù)列是數(shù)列,的“和諧數(shù)列”,且(m為常數(shù),,2,…,k),求證:.
【答案】(1),,;證明詳見解析;(2);(3)詳見解析.
【解析】
(1)根據(jù)和諧數(shù)列定義求出,,,求出,利用等差數(shù)列定義證明即可;
(2)分和兩種情況討論,時(shí),可得,計(jì)算知數(shù)列不是等差數(shù)列,當(dāng)時(shí),可滿足是等差數(shù)列;
(3)根據(jù)條件可證明,可得,所以,即證.
(1)由題意知,
,
.
因?yàn)?/span>恒成立,
所以,
則4,
即,
故(與n無關(guān)的常數(shù)),
所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列.
(2)因?yàn)閿?shù)列,都是公比為q的正項(xiàng)等比數(shù)列,
所以,,.
.
當(dāng)時(shí),;,
所以,
則.
因?yàn)?/span>
,
所以,
此時(shí)數(shù)列不是等差數(shù)列,與題意矛盾.
當(dāng)時(shí),,
所以,
則,
此(與n無關(guān)的常數(shù)),
所以數(shù)列是等差數(shù)列,符合題意.
綜上,公比q的取值范圍是.
(3)因?yàn)?/span>,
所以,
上面兩式相減得
因?yàn)?/span>
又,所以
,
所以
故,
即
則,
所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年寒假期間新冠肺炎肆虐,全國(guó)人民眾志成城抗擊疫情.某市要求全體市民在家隔離,同時(shí)決定全市所有學(xué)校推遲開學(xué).某區(qū)教育局為了讓學(xué)生“停課不停學(xué)”,要求學(xué)校各科老師每天在網(wǎng)上授課,每天共280分鐘,請(qǐng)學(xué)生自主學(xué)習(xí).區(qū)教育局為了了解高三學(xué)生網(wǎng)上學(xué)習(xí)情況,上課幾天后在全區(qū)高三學(xué)生中采取隨機(jī)抽樣的方法抽取了100名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,為了方便表述把學(xué)習(xí)時(shí)間在分鐘的學(xué)生稱為類,把學(xué)習(xí)時(shí)間在分鐘的學(xué)生稱為類,把學(xué)習(xí)時(shí)間在分鐘的學(xué)生稱為類,隨機(jī)調(diào)查的100名學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)間的人數(shù)頻率分布直方圖如圖所示:以頻率估計(jì)概率回答下列問題:
(1)求100名學(xué)生中,,三類學(xué)生分別有多少人?
(2)在,,三類學(xué)生中,按分層抽樣的方法從上述100個(gè)學(xué)生中抽取10人,并在這10人中任意邀請(qǐng)3人電話訪談,求邀請(qǐng)的3人中是類的學(xué)生人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)某校高三(1)班有50名學(xué)生,某天語(yǔ)文和數(shù)學(xué)老師計(jì)劃分別在19:00—19:40和20:00—20:40在線上與學(xué)生交流,由于受校園網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)的限制,每次只能30個(gè)人同時(shí)在線學(xué)習(xí)交流.假設(shè)這兩個(gè)時(shí)間段高三(1)班都有30名學(xué)生相互獨(dú)立地隨機(jī)登錄參加學(xué)習(xí)交流.設(shè)表示參加語(yǔ)文或數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)交流的人數(shù),當(dāng)為多少時(shí),其概率最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè) 為等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和,其中 ,且 .
(1)求常數(shù) 的值,并寫出 的通項(xiàng)公式;
(2)記 ,數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ,若對(duì)任意的 ,都有 ,求常數(shù) 的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年新冠肺炎疫情暴發(fā)以來,中國(guó)政府迅速采取最全面、最嚴(yán)格、最徹底的防控舉措,堅(jiān)決遏制疫情蔓延勢(shì)頭,努力把疫情影響降到最低,為全世界抗擊新冠肺炎疫情做岀了貢獻(xiàn).為普及防治新冠肺炎的相關(guān)知識(shí),某高中學(xué)校開展了線上新冠肺炎防控知識(shí)競(jìng)答活動(dòng),現(xiàn)從大批參與者中隨機(jī)抽取200名幸運(yùn)者,他們的得分(滿分100分)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖:
(1)若此次知識(shí)競(jìng)答得分整體服從正態(tài)分布,用樣本來估計(jì)總體,設(shè),分別為這200名幸運(yùn)者得分的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點(diǎn)值代替),求,的值(,的值四舍五入取整數(shù)),并計(jì)算;
(2)在(1)的條件下,為感謝大家積極參與這次活動(dòng),對(duì)參與此次知識(shí)競(jìng)答的幸運(yùn)者制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案:得分低于的獲得1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),得分不低于的獲得2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).假定每次抽獎(jiǎng)中,抽到18元紅包的概率為,抽到36元紅包的概率為.已知高三某同學(xué)是這次活動(dòng)中的幸運(yùn)者,記為該同學(xué)在抽獎(jiǎng)中獲得紅包的總金額,求的分布列和數(shù)學(xué)期望,并估算舉辦此次活動(dòng)所需要抽獎(jiǎng)紅包的總金額.
參考數(shù)據(jù):;;.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,過點(diǎn)的直線與橢圓相交于,兩點(diǎn).
(1)當(dāng)直線的斜率時(shí),求的面積;
(2)當(dāng)時(shí),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】秉承“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念,某市環(huán)保部門通過制定評(píng)分標(biāo)準(zhǔn),先對(duì)本市50%的企業(yè)進(jìn)行評(píng)估,評(píng)出四個(gè)等級(jí),并根據(jù)等級(jí)給予相應(yīng)的獎(jiǎng)懲,如下表所示:
評(píng)估得分 | ||||
評(píng)定等級(jí) | 不合格 | 合格 | 良好 | 優(yōu)秀 |
獎(jiǎng)勵(lì)(萬元) | 20 | 40 | 80 |
(1)環(huán)保部門對(duì)企業(yè)抽查評(píng)估完成后,隨機(jī)抽取了50家企業(yè)的評(píng)估得分(分)為樣本,得到如下頻率分布表:
評(píng)估得分 | ||||||
頻率 | 0.04 | 0.10 | 0.20 | 0.12 |
其中、表示模糊不清的兩個(gè)數(shù)字,但知道樣本評(píng)估得分的平均數(shù)是73.6.現(xiàn)從樣本外的數(shù)百個(gè)企業(yè)評(píng)估得分中隨機(jī)抽取3個(gè),若以樣本中頻率為概率,求至少有兩家企業(yè)的獎(jiǎng)勵(lì)不少于40萬元的概率;
(2)某企業(yè)為取得一個(gè)好的得分,在評(píng)估前投入80萬元進(jìn)行技術(shù)改造,由于技術(shù)水平問題,被評(píng)定為“合格”“良好”和“優(yōu)秀”的概率分別為,和,且由此增加的產(chǎn)值分別為20萬元,40萬元和60萬元.設(shè)該企業(yè)當(dāng)年因改造而增加的利潤(rùn)為萬元,求的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正三棱柱的每條棱的長(zhǎng)度都相等,,分別是棱,的中點(diǎn),是棱上一點(diǎn),且平面.
(1)證明:平面.
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在傳染病學(xué)中,通常把從致病刺激物侵人機(jī)體或者對(duì)機(jī)體發(fā)生作用起,到機(jī)體出現(xiàn)反應(yīng)或開始呈現(xiàn)該疾病對(duì)應(yīng)的相關(guān)癥狀時(shí)止的這一階段稱為潛伏期. 一研究團(tuán)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了某地區(qū)1000名患者的相關(guān)信息,得到如下表格:
潛伏期(單位:天) | |||||||
人數(shù) |
(1)求這1000名患者的潛伏期的樣本平均數(shù)x (同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表) ;
(2)該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響,為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系,以潛伏期是否超過6天為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣,從上述1000名患者中抽取200人,得到如下列聯(lián)表.請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān);
潛伏期天 | 潛伏期天 | 總計(jì) | |
歲以上(含歲) | |||
歲以下 | |||
總計(jì) |
(3)以這1000名患者的潛伏期超過6天的頻率,代替該地區(qū)1名患者潛伏期超過6天發(fā)生的概率,每名患者的潛伏期是否超過6天相互獨(dú)立,為了深入研究,該研究團(tuán)隊(duì)隨機(jī)調(diào)查了20名患者,其中潛伏期超過6天的人數(shù)最有可能(即概率最大)是多少?
附:
,其中.
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