8．求證：1+$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{1×2×3}$+…+$\frac{1}{1×2×3×…×n}$＜3．

分析 利用$\frac{1}{n!}＜\frac{1}{（n-1）n}$，n＞2，對(duì)不等式放縮，進(jìn)行證明．

解答 證明：因?yàn)?\frac{1}{n!}＜\frac{1}{（n-1）n}$，n＞2，
所以1+$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{1×2×3}$+…+$\frac{1}{1×2×3×…×n}$＜1+$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{（n-1）n}$=1+1+1$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$=3-$\frac{1}{n}$＜3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的證明；關(guān)鍵是利用$\frac{1}{n!}＜\frac{1}{（n-1）n}$，n＞2對(duì)不等式放縮變形．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

18．已知復(fù)數(shù)z1=1+2i，z2=-2+i，$\overline{{z}_{3}}$=$\frac{3{z}_{1}}{|{z}_{1}{|}^{2}}$+$\frac{4{z}_{2}}{|{z}_{2}{|}^{2}}$．
（1）求z3；
（2）若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z+z1為實(shí)數(shù)，且z（z2-z3）為純虛數(shù)，求z．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

19．實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z=$\frac{{m}^{2}+5m+6}{m+2}$+（m2+m-2）i（i為虛數(shù)單位）是（1）實(shí)數(shù)；（2）純虛數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

16．解關(guān)于x的不等式：$\frac{1-3x}{x-5}$≥-1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

3．已知-$\frac{π}{2}$＜x＜0，sinx+cosx=$\frac{1}{5}$．
（1）求sinx-cosx的值；
（2）求$\frac{3si{n}^{2}\frac{x}{2}-2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+co{s}^{2}\frac{x}{2}}{tanx+tan（\frac{π}{2}-\frac{x}{2}）}$的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

13．已知圓的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=-1+2sinθ}\end{array}\right.$（θ是參數(shù)）．
（1）求圓的圓心坐標(biāo)和半徑；
（2）設(shè)圓上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y），求z=x+y的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

20．函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-1|+$\sqrt{4-{x}^{2}}$的值域[2+$\sqrt{3}$，2$\sqrt{5}$]．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

17．?dāng)?shù)列{an}滿(mǎn)足：a1=1，an+1=$\frac{{n}^{2}{a}_{n}+{{a}_{n}}^{2}}{{{a}_{n}}^{2}+2{a}_{n}-n}+1$，n∈N*．
（1）寫(xiě)出a2，a3，a4，猜想通項(xiàng)公式an，用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想；
（2）求證：$\sqrt{{{a}_{1}a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}{a}_{n+1}}$＜$\frac{1}{2}$（an+1）2，n∈N*．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

11．已知空間四點(diǎn)A（0，3，5），B（2，3，1），C（4，1，5），D（x，5，9）共面，則x=-6．

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同步練習(xí)冊(cè)答案