Question

17．?dāng)?shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=$\frac{{n}^{2}{a}_{n}+{{a}_{n}}^{2}}{{{a}_{n}}^{2}+2{a}_{n}-n}+1$，n∈N^*．
（1）寫出a₂，a₃，a₄，猜想通項(xiàng)公式a_n，用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想；
（2）求證：$\sqrt{{{a}_{1}a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}{a}_{n+1}}$＜$\frac{1}{2}$（a_n+1）²，n∈N^*．

Answer 1

分析 （1）a₁=1，a_n+1=$\frac{{n}^{2}{a}_{n}+{{a}_{n}}^{2}}{{{a}_{n}}^{2}+2{a}_{n}-n}+1$，n∈N^*．分別令n=1，2，3，可得a₂=2，a₃=3，a₄=4，猜想通項(xiàng)公式a_n=n．用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．
（2）利用（1）的結(jié)論a_n=n，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 （1）解：a₁=1，a_n+1=$\frac{{n}^{2}{a}_{n}+{{a}_{n}}^{2}}{{{a}_{n}}^{2}+2{a}_{n}-n}+1$，n∈N^*．分別令n=1，2，3，可得a₂=2，a₃=3，a₄=4，
猜想通項(xiàng)公式a_n=n．
用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想．
（i）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1成立．
（ii）假設(shè)當(dāng)n=k∈N^*時(shí)，a_k=k成立．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=$\frac{{k}^{2}×k+{k}^{2}}{{k}^{2}+2k-k}$+1=k+1，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=k+1，等式成立．
綜上可得：等式a_n=n對(duì)于?n∈N^*都成立．
∴a_n=n．
（2）證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（i）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=$\sqrt{{a}_{1}{a}_{2}}$=$\sqrt{2}$，右邊=$\frac{1}{2}×（1+1）^{2}$=2，∴左邊＜右邊．
（ii）假設(shè)當(dāng)n=k∈N^*時(shí)，不等式$\sqrt{{{a}_{1}a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{k}{a}_{k+1}}$＜$\frac{1}{2}$（a_k+1）²，k∈N^*成立．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=$\sqrt{{{a}_{1}a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{k}{a}_{k+1}}$+$\sqrt{{a}_{k+1}{a}_{k+2}}$＜$\frac{1}{2}$（a_k+1）²+$\sqrt{{a}_{k+1}{a}_{k+2}}$=$\frac{1}{2}（k+1）^{2}$+$\sqrt{（k+1）（k+2）}$＜$\frac{1}{2}（k+1）^{2}$+$\frac{（k+1）+（k+2）}{2}$=$\frac{1}{2}$（k+2）²．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立．
綜上可得：不等式對(duì)于?n∈N^*都成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用、數(shù)學(xué)歸納法、不等式的性質(zhì)，考查了猜想與歸納推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．