Question

18．已知復(fù)數(shù)z₁=1+2i，z₂=-2+i，$\overline{{z}_{3}}$=$\frac{3{z}_{1}}{|{z}_{1}{|}^{2}}$+$\frac{4{z}_{2}}{|{z}_{2}{|}^{2}}$．
（1）求z₃；
（2）若復(fù)數(shù)z滿足z+z₁為實數(shù)，且z（z₂-z₃）為純虛數(shù)，求z．

Answer 1

分析 （1）利用復(fù)數(shù)的運算法則、模的計算公式即可的；
（2）利用復(fù)數(shù)為實數(shù)、純虛數(shù)的定義即可得出．

解答 解：（1）由復(fù)數(shù)z₁=1+2i，z₂=-2+i，∴$|{z}_{1}{|}^{2}$=1²+2²=5，$|{z}_{2}{|}^{2}$=（-2）²+1²=5．
∴$\overline{{z}_{3}}$=$\frac{3{z}_{1}}{|{z}_{1}{|}^{2}}$+$\frac{4{z}_{2}}{|{z}_{2}{|}^{2}}$=$\frac{3（1+2i）}{5}+\frac{4（-2+i）}{5}$=$\frac{-5+10i}{5}$=-1+2i．
故z₃=-1-2i；
（2）設(shè)z=x+yi（x，y∈R）．
由z+z₁為實數(shù)，得y+2=0，即y=-2．
又z₂-z₃=（-2+i）-（-1-2i）=-1+3i，
則z（z₂-z₃）=（x-2i）（-1+3i）=6-x+（3x+2）i為純虛數(shù)，得$\left\{\begin{array}{l}{6-x=0}\\{3x+2≠0}\end{array}\right.$，
∴x=6，
∴z=6-2i．

點評 本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、復(fù)數(shù)為實數(shù)、純虛數(shù)的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．