Question

【題目】已知圓：關(guān)于直線對(duì)稱且過(guò)點(diǎn)和，直線過(guò)定點(diǎn).

（1）證明：直線與圓相交；

（2）記直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，.

①若弦長(zhǎng)，求直線方程；

②求面積的最大值及面積的最大時(shí)的直線方程.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）①②

【解析】

（1）求出的垂直平分線方程，與聯(lián)立，可得圓的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而可得圓的半徑，聯(lián)立，計(jì)算判別式，可得結(jié)果；

（2）①設(shè)直線的方程為，求出弦心距，在利用半徑和弦長(zhǎng)列方程可得；

②根據(jù)面積公式可得，進(jìn)而可求出最值及此時(shí)的直線方程.

（1）證明：∵、，

∴的垂直平分線為聯(lián)立方程得圓心坐標(biāo)

∴圓的方程為

又∵圓過(guò)點(diǎn)∴

進(jìn)而得到圓的方程：，

設(shè)直線的方程為，則

聯(lián)立得：

∴

∴直線與圓相交；

（2）解：設(shè)直線的方程為，

記圓心到直線的距離為.

①∵，解得，

∴，解得，

此時(shí)直線的方程為，

②，

當(dāng)時(shí)，三角形面積的最大值為2，

此時(shí)解得，

此時(shí)直線的方程為即.