Question

已知f（x）=2sin⁴x+2cos⁴x+cos²2x-3．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期．
（2）求函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[

π

16

，

3π

16

]上的最小值并求當(dāng)f（x）取最小值時(shí)，x的取值集合．

Answer 1

分析：通過同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，
（1）利用周期公式求出函數(shù)的最小正周期．
（2）通過x∈[

π

16

，

3π

16

]，求出  4x∈[

π

4

，

3π

4

]，利用函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，以及x的集合即可．

解答：解：f（x）=2（sin²x+cos²x）²-4sin²xcos²x+cos²2x-3
=2×1-sin²2x+cos²2x-3
=cos²2x-sin²2x-1
=cos4x-1
（1）函數(shù)的最小正周期T=

2π

4

=

π

2

．
（2）x∈[

π

16

，

3π

16

]
  4x∈[

π

4

，

3π

4

]
∴f（x）=cos4x-1在[

π

16

，

3π

16

]是減函數(shù)
 當(dāng)x=

3π

16

時(shí)
f（x）有最小值f（

3π

16

）=cos

3π

4

-1=-

2

2

-1，此時(shí)x的集合是{

3π

4

}

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，函數(shù)的周期的求法，函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，考查計(jì)算能力．