Question

已知△ABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c，若

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差數(shù)列．求證：B不可能是鈍角．

Answer 1

考點(diǎn)：反證法與放縮法

專(zhuān)題：推理和證明

分析：用反證法證明：利用等比數(shù)列以及基本不等式轉(zhuǎn)化為：ac-b²≥0，假設(shè)結(jié)論不成立，推出矛盾結(jié)論，即可證明原命題正確；
用綜合法證明：通過(guò)等比數(shù)列以及余弦定理基本不等式推出cosB≥1-

b

a+c

，利用三角形兩邊和大于第三邊，推出cosB＞0，得到結(jié)論．

解答： 證明：（用反證法證明）∵

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差數(shù)列，∴

2

b

=

1

a

+

1

c

≥2

1 ac

，∴b²≤ac 即ac-b²≥0．
假設(shè)B是鈍角，則cosB＜0，由余弦定理可得，cosB=

a2+c2-b2

2ac

≥

2ac-b2

2ac

＞

ac-b2

2ac

≥0．
這與cosB＜0矛盾，故假設(shè)不成立．∴B不可能是鈍角．
證明：（用綜合法證明）∵

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差數(shù)列，∴

2

b

=

1

a

+

1

c

，即2ac=b（a+c），
由余弦定理和基本不等式可得，cosB=

a2+c2-b2

2ac

≥

2ac-b2

2ac

=1-

b2

2ac

=1-

b2

b(a+c)

=1-

b

a+c

，
∵a，b，c為△ABC三邊，∴a+c＞b，
∴1-

b

a+c

＞0，∴cosB＞0，∴∠B＜90⁰，因此B不可能是鈍角．

點(diǎn)評(píng)：本題考查推理與證明的基本方法，反證法與綜合法的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．