Question

18．如圖△ABC內(nèi)接于圓O，AB=AC，直線MN切圓O于點C，弦BD∥MN，AC與BD相交于點E．
（Ⅰ）求證：△ABE≌△ACD；
（Ⅱ）若AB=6，BC=4，求$\frac{DE}{AE}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在兩個三角形中，證明兩個三角形全等，找出三角形全等的條件，根據(jù)同弧所對的圓周角相等，根據(jù)所給的邊長相等，由邊角邊確定兩個三角形是全等三角形．
（Ⅱ）證明△ABE與△DEC相似，得到對應邊成比例，利用BD∥MNDC=BC=4，即可求$\frac{DE}{AE}$的值．

解答 （Ⅰ）證明：由題意∠BAE=∠EDC
∵BD∥MN
∴∠EDC=∠DCN
∵直線是圓的切線，
∴∠DCN=∠CAD
∴∠BAE=∠CAD
在△ABE和△ACD中，
∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，∠BAE=∠CAD，
∴△ABE≌△ACD
（Ⅱ）解：∵∠ABE=∠DCE，∠AEB=∠DEC
∴△ABE∽△DEC
∴$\frac{DE}{AE}=\frac{DC}{AB}$
∵BD∥MN，
∴DC=BC=4，
∴$\frac{DE}{AE}=\frac{DC}{AB}$=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查與圓有關的比例線段，考查圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定，考查相似性的證明，屬于中檔題．