Question

10．如圖，用邊長為60cm的正三角形鐵皮做一個(gè)無蓋的三棱柱形容器，先在三個(gè)角分別截去一個(gè)小四邊形（圖中陰影部分），然后把三邊翻轉(zhuǎn)90°角，再焊接而成．問該容器的高為多少時(shí)，容器的容積最大？最大容積是多少？

Answer 1

分析 設(shè)箱底邊長為x，根據(jù)已知中箱子的制作方法，我們可求出容積V（x）的解析式，求出其導(dǎo)函數(shù)，分析其單調(diào)性，可得到函數(shù)的最值點(diǎn)，代入可得答案．

解答 解：設(shè)箱底邊長為x，則箱高為h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{60-x}{2}$（0＜x＜60），…（2分）
箱子的容積為V（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}sin60°h$=$\frac{15}{2}{x}^{2}$-$\frac{1}{8}{x}^{3}$（0＜x＜60）．              …（6分）
由V′（x）=0解得x=0（舍），x=40，…（8分）
且當(dāng)x∈（0，40）時(shí)，V′（x）＞0；當(dāng)x∈（40，60）時(shí)，V′（x）＜0，
所以函數(shù)V（x）在x=40處取得極大值，…（10分）
這個(gè)極大值就是函數(shù)V（x）的最大值：V（40）=4000．…（12分）
答：當(dāng)箱子底邊長為40cm時(shí)，高為10cm時(shí)，箱子容積最大，最大值為4000cm³．                …（14分

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是棱柱的體積，導(dǎo)數(shù)法求最值，其中根據(jù)已知求出容積V（x）的解析式，是解答的關(guān)鍵．