Question

1．已知△ABC中，A、B、C分別是三個內(nèi)角，a、b、c分別是角A、B、C所對的邊，且a=$\sqrt{3}$，A=$\frac{π}{3}$．
（1）求△ABC的周長的最大值．
（2）求△ABC面積S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理可得$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2，從而表示出l=a+b+c=$\sqrt{3}$+2（sinB+sinC），從而利用和差化積公式求最值；
（2）化簡S=$\frac{1}{2}$absinC=$\sqrt{3}$sinBsinC，從而利用積化和差公式求最值．

解答 解：（1）∵$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2，
∴△ABC的周長l=a+b+c
=$\sqrt{3}$+2sinB+2sinC
=$\sqrt{3}$+2（sinB+sinC）
=$\sqrt{3}$+4sin$\frac{B+C}{2}$cos$\frac{B-C}{2}$
=$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$cos$\frac{B-C}{2}$，
故當(dāng)B=C=$\frac{π}{3}$時，有最大值3$\sqrt{3}$；
（2）S=$\frac{1}{2}$absinC
=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×2sinBsinC
=$\sqrt{3}$sinBsinC
=$\sqrt{3}$•（-$\frac{1}{2}$）[cos（B+C）-cos（B-C）]
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（cos（B-C）-cos（B+C））
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（cos（B-C）+$\frac{1}{2}$），
故當(dāng)B=C=$\frac{π}{3}$時，有最大值$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查了解三角形的應(yīng)用及三角恒等變換的應(yīng)用，屬于中檔題．