Question

6．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{n+1}$（n=1，2，3…）．
（1）求a₂，a₃，a₄，a₅，并猜想通項(xiàng)公式a_n．
（2）根據(jù)（1）中的猜想，有下面的數(shù)陣：
S₁=a₁
S₂=a₂+a₃
S₃=a₄+a₅+a₆
S₄=a₇+a₈+a₉+a₁₀
S₅=a₁₁+a₁₂+a₁₃+a₁₄+a₁₅
試求S₁，S₁+S₃，S₁+S₃+S₅，并猜想S₁+S₃+S₅+…+S_2n-1的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給遞推式計(jì)算；
（2）計(jì)算前幾個(gè)式子，根據(jù)規(guī)律猜想．

解答 解：（1）∵$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{n+1}$，∴a_n=$\frac{n}{n-1}{a}_{n-1}$（n≥2，n∈N⁺）．
∴a₂=2，a₃=3，a₄=4，a₅=5，…
猜想：a_n=n．
（2）S₁=a₁=1=1⁴，
S₁+S₃=a₁+a₄+a₅+a₆=1+4+5+6=16=4²=2⁴，
S₁+S₃+S₅=16+a₁₁+a₁₂+a₁₃+a₁₄+a₁₅=16+（11+12+13+14+15）=16+65=81=9²=3⁴．
猜想：S₁+S₃+S₅+…+S_2n-1=n⁴．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了歸納推理，尋找已知條件或數(shù)據(jù)的規(guī)律是關(guān)鍵．