Question

14．在平面內(nèi)，可以用面積法證明下面的結(jié)論：從三角形內(nèi)部任意一點(diǎn)，向各邊引垂線，其長度分別為p_a，p_b，p_c，且相應(yīng)各邊上的高分別為h_a，h_b，h_c，則有$\frac{{p}_{a}}{{h}_{a}}+\frac{{p}_}{{h}_}+\frac{{p}_{c}}{{h}_{c}}$=1．
請你運(yùn)用類比的方法將此結(jié)論推廣到四面體中并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 類比結(jié)論：從四面體內(nèi)部任意一點(diǎn)向各面引垂線，其長度分別為p_a，p_b，p_c，p_d，且相應(yīng)各面上的高分別為h_a，h_b，h_c，h_d．則有$\frac{{p}_{a}}{{h}_{a}}$+$\frac{{p}_}{{h}_}$+$\frac{{p}_{c}}{{h}_{c}}$+$\frac{{p}_lyxsuxj}{{h}_die3xpk}$=1，由三棱錐的體積公式可證明．

解答 解：類比結(jié)論：從四面體內(nèi)部任意一點(diǎn)向各面引垂線，其長度分別為p_a，p_b，p_c，p_d，
且相應(yīng)各面上的高分別為h_a，h_b，h_c，h_d．則有$\frac{{p}_{a}}{{h}_{a}}$+$\frac{{p}_}{{h}_}$+$\frac{{p}_{c}}{{h}_{c}}$+$\frac{{p}_1azmqc7}{{h}_popf67u}$=1．
證明：$\frac{{p}_{a}}{{h}_{a}}$=$\frac{\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•{p}_{a}}{\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•{h}_{a}}$=$\frac{VP-BCD}{VA-BCD}$，
同理有$\frac{{p}_}{{h}_}$=$\frac{VP-CDA}{VB-CDA}$，$\frac{{p}_{c}}{{h}_{c}}$=$\frac{VP-BDA}{VC-BDA}$，$\frac{{p}_1ydjy7p}{{h}_fhc7mok}$=$\frac{VP-ABC}{VD-ABC}$，
又V_P-BCD+V_P-CDA+V_P-BDA+V_P-ABC=V_A-BCD，
∴$\frac{pa}{ha}$+$\frac{pb}{hb}$+$\frac{pc}{hc}$+$\frac{pd}{hd}$=$\frac{VP-BCD+VP-CDA+VP-BDA+VP-ABC}{VA-BCD}$=1．

點(diǎn)評 本題考查類比推理，誰三棱錐的體積公式，屬中檔題．