Question

4．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞0，b＞0）$與函數(shù)$y=\sqrt{x}（x≥0）$的圖象交于點(diǎn)P，若函數(shù)$y=\sqrt{x}$在點(diǎn)P處的切線過(guò)雙曲線左焦點(diǎn)F（-1，0），則雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}+3}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出切線方程的斜率，利用斜率相等列出方程，即可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)P（m，$\sqrt{m}$），函數(shù)y=$\sqrt{x}$的導(dǎo)數(shù)為：y′=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，∴切線的斜率為$\frac{1}{2\sqrt{m}}$，
又∵在點(diǎn)P處的切線過(guò)雙曲線左焦點(diǎn)F（-1，0），∴$\frac{1}{2\sqrt{m}}$=$\frac{\sqrt{m}}{m+1}$，解得m=1，
∴P（1，1），
雙曲線的左焦點(diǎn)F₁（-1，0），則雙曲線的右焦點(diǎn)F₂（1，0），既c=1．
則|PF₁|-|PF₂|=2a，即$\sqrt{4+1}-\sqrt{0+1}$=2a
解得a=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
所以離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查過(guò)曲線外一點(diǎn)作曲線切線的基本方法，結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率，對(duì)考生的運(yùn)算求解能力和推理論證能力提出較高要求．