Question

10．如圖，三棱錐P-ABC中，BC⊥平面PAB．PA=PB=AB=BC=6，點M，N分別為PB，BC的中點．
（Ⅰ）求證：AM⊥平面PBC；
（Ⅱ）E在線段AC上的點，且AM∥平面PNE．
①確定點E的位置；
②求直線PE與平面PAB所成角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知推導出AM⊥PB，AM⊥BC，由此能證明AM⊥平面PBC．
（Ⅱ）①連結MC，交PN于F，則F是△PBC的重心，且MF=$\frac{1}{3}$MC，由已知推導出AM∥EF，從而得到AE=$\frac{1}{3}AC=2\sqrt{2}$．
②作EH⊥AB于H，則EH∥BC，則∠EPH是直線PE與平面PAB所成的角，由此能求出直線PE與平面PAB所成角的正切值．

解答 證明：（Ⅰ）∵PA=AB，點M為PB的中點，∴AM⊥PB，
∵BC⊥平面PAB，AM?平面PAB，∴AM⊥BC，
∵PB∩BC=B，
∴AM⊥平面PBC．
解：（Ⅱ）①連結MC，交PN于F，則F是△PBC的重心，且MF=$\frac{1}{3}$MC，
∵AM∥平面PEN，平面AMC∩平面PEN=EF，AM?平面AMC，
∴AM∥EF，
∴AE=$\frac{1}{3}AC=2\sqrt{2}$．
②作EH⊥AB于H，則EH∥BC，∴EH⊥平面PAB，
∴∠EPH是直線PE與平面PAB所成的角，
∵EH=$\frac{1}{3}BC=2$，AH=$\frac{1}{3}AB=2$，∴PH=2$\sqrt{7}$，
∴tan$∠EPH=\frac{EH}{PH}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴直線PE與平面PAB所成角的正切值為$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查線面角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．