Question

選修4-5不等式選講
設(shè)函數(shù)f（x）=|3x+6|+1
（Ⅰ）畫(huà)出函數(shù)y=f（x）的圖象；
（Ⅱ）若不等式，f（x）≥ax恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,函數(shù)圖象的作法

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的圖象畫(huà)法問(wèn)題；
（2）在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出f（x）和y=ax的圖象，利用旋轉(zhuǎn)的方法得到兩函數(shù)圖象無(wú)交點(diǎn)時(shí)a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由于f(x)=

3x+7，x≥-2 -3x-5，x＜-2

．
則函數(shù)的圖象如圖所示（黑線部分）：

（Ⅱ） 由函數(shù)y=f（x）（黑線部分）與函數(shù)y=ax（藍(lán)線部分）的圖象（見(jiàn)上圖）可知，
當(dāng)且僅當(dāng)-

1

2

≤a≤3時(shí)，即直線從圖中①的位置逆時(shí)針繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與直線y=3x+7平行的位置時(shí)，函數(shù)y=ax的圖象與函數(shù)y=f（x）圖象沒(méi)有交點(diǎn)，
所以不等式f（x）≥ax恒成立．
則a的取值范圍為[-

1

2

，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)的圖象的畫(huà)法，以及利用圖象解決不等式恒成立問(wèn)題的思路，即作出圖象，理解a的幾何意義，利用旋轉(zhuǎn)完成解題．