Question

7．經濟學中，函數f（x）的邊際函數M（x）定義為M（x）=f（x+1）-f（x），利潤函數p（x）邊際利潤函數定義為M₁（x）=p（x+1）-p（x），某公司最多生產 100 臺報系統(tǒng)裝置，生產x臺的收入函數為R（x）=3000x-20x²（單位：元），其成本函數為C（x）=500x+4000x（單位：元），利潤是收入與成本之差．
（1）求利潤函數p（x）及邊際利潤函數M₁（x）；
（2）利潤函數p（x）與邊際利潤函數M₁（x）是否具有相等的最大值？

Answer 1

分析 （1）P（x）=R（x）-C（x），M₁（x）=P（x+1）-P（x）．（1≤x≤100，x∈N^*）．
（2）由P（x）=-20$（x-\frac{125}{2}）^{2}$+74125，利用二次函數的單調性可得，P（x）_max．利用一次函數的單調性可得M₁（x）_max．

解答 解：（1）P（x）=R（x）-C（x）=3000x-20x²-（500x+4000）
=-20x²+2500x-4000（1≤x≤100，x∈N^*），
M₁（x）=P（x+1）-P（x）=2480-40x．（1≤x≤100，x∈N^*）．
（2）∵P（x）=-20$（x-\frac{125}{2}）^{2}$+74125，
∴當x=62 或63 時，P（x）_max=74120．
又∵M₁（x） 是減函數，∴當 x=1 時，M₁（x）_max=2440．
故利潤函數p（x）與邊際利潤函數M₁（x）不具有相等的最大值．

點評 本題考查了一次函數與二次函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．