Question

5．一個長方體共頂點的三個面的面積分別是$\sqrt{2}，\sqrt{3}，\sqrt{6}$，這個長方體的八個頂點都在同一個球面上，則這個球的表面積是6π．

Answer 1

分析 由題意長方體的外接球的直徑就是長方體的對角線，求出長方體的對角線，就是求出球的直徑，然后求出球的表面積．

解答 解：因為一個長方體相鄰的三個面的面積分別是$\sqrt{2}，\sqrt{3}，\sqrt{6}$，
∴長方體的一個頂點上的三條棱長分別是$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，1，且它的8個頂點都在同一個球面上，
所以長方體的對角線就是確定直徑，
長方體的體對角線的長是：$\sqrt{2+3+1}$=$\sqrt{6}$
球的半徑是：$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
這個球的表面積：4$π•\frac{6}{4}$=6π．
故答案為6π．

點評 本題是基礎題，考查球的內接多面體的有關知識，球的表面積的求法，注意球的直徑與長方體的對角線的轉化是本題的解答的關鍵，考查計算能力，空間想象能力．