Question

【題目】已知，．求證：對任意的都存在A的一個(gè)4元分拆：使其中某一個(gè)的元素恰好是方程的一個(gè)解．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

依題意，只須證明A中存在4個(gè)不同的元素，且某兩個(gè)之差等于另兩個(gè)之差．

首先，S中兩數(shù)之差（大數(shù)減小數(shù)，以下同）可取1~99共99個(gè)值，而A中16個(gè)元素可作出個(gè)差．由抽屜原理知，必有2個(gè)差是相同的，記為，

其中，從而，．

若，則命題成立；

若，則取走這一個(gè)差（但并不是取走元素、），剩下的119個(gè)差在1~99之間取值，又必有2個(gè)差是相同的，記為，其中，從而，．

若，則命題成立；

若，則取走這一個(gè)差，剩下的118個(gè)

差在1~99之間取值，又得出必有2個(gè)差是相同的．

如此類推，最多進(jìn)行到第15步時(shí)，得出，其中，從而，．

若，則命題成立．

若，則前15步積累了15個(gè)相同差，

，①

，②

……

．

由于，故不能取A中的最大數(shù)也不能取最小數(shù)，只有14個(gè)可取值，所以，15個(gè)中必有2個(gè)是相同的，不妨設(shè)．

由于是在取走之后才得出的，

故，不妨設(shè)．

①②得．

由，知，又，故，即兩兩不等．

因此，命題成立．

可見，最多進(jìn)行到第15步時(shí)，必能找出A中4個(gè)互不相等的元素a、b、c、d，使得．以這4個(gè)元素組成，便可滿足題設(shè)的全部條件．