三角形中位線是三角形中的重要線段，下面證明一下三角形中位線定理．

如圖，已知在梯形中，，AB＝BC，B∥C．

求證：是的中點(diǎn)．

如圖，在△ABC中，，平行于BC交AC于點(diǎn)，求證：是AC的中點(diǎn)．

是否存在常數(shù)a，b，c使等式1×(n²－1²)＋2(n²－2²)＋…＋n(n²－n²)＝an⁴＋bn²＋c對(duì)一切正整數(shù)n成立？證明你的結(jié)論．

用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋(n≥2)．

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁＝2，a_n+1＝a_n＋(n＝1，2，3，…)

求證：a_n＞對(duì)一切正整數(shù)n成立．

用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切大于1的自然數(shù)n，不等式(1＋)(1＋)…(1＋)＞成立．

n²(n≥4，且n∈N₊)個(gè)正數(shù)排成一個(gè)n列的數(shù)陣：

其中a_ik(1≤i≤n，1≤k≤n，且i，k∈N₊)表示該數(shù)陣中位于第i行第k列的數(shù)，已知該數(shù)陣每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成公比為2的等比數(shù)列，且a₂₃＝8，a₃₄＝20．

(1)求a₁₁和a_ik；

(2)設(shè)A_n＝a_1n＋a_2(n－1)＋a_3(n－2)＋…＋a_n1．

用數(shù)學(xué)歸納法證明，若f(n)＝1＋＋＋…＋，則n＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n·f(n)(n≥2，且n∈N₊)．

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

tanα·tan2α＋tan2α·tan3α＋…＋tan(n－1)α·tannα＝－n(n≥2，n∈N₊)．