如圖，以銳角△ABC的三邊為邊向外作三個(gè)等邊三角形ABD，BCE，CAG．

求證：△ABD、△BCE、△CAG的外接圓⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃交于一點(diǎn)．

如圖，在銳角△ABC中，BD、CE分別是邊AC、AB上的高線，DG⊥CE于G，EF⊥BD于F．

求證：FG∥BC．

如圖，D為△ABC的BC邊上一點(diǎn)，⊙O₁經(jīng)過點(diǎn)B、D，交AB于另一點(diǎn)E，⊙O₂經(jīng)過點(diǎn)C、D，交AC于另一點(diǎn)F，⊙O₁，⊙O₂交于點(diǎn)G．

求證：∠BAC＋∠EGF＝180°，以及∠EAG＝∠EFG．

如圖，△ABC的∠BAC的外角平分線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D．

求證：AB＋AC＜2BD．

如圖，在梯形ABCD中，CD∥AB，過A、B兩點(diǎn)的圓分別交AD、CB于E、F．

求證：D、E、F、C四點(diǎn)共圓．

求證：對(duì)角線互相垂直的四邊形中，各邊中點(diǎn)在同一個(gè)圓周上．

已知：如下圖，四邊形ABCD，AC⊥BD，AB、BC、CD、DA四邊中點(diǎn)分別為E、F、G、H．

求證：E、F、G、H四點(diǎn)共圓．

證明：如果兩個(gè)三角形有一條公共邊，這條邊所對(duì)的角相等，并且在公共邊的同側(cè)，那么這兩個(gè)三角形有公共的外接圓．

已知：如下圖，∠C、∠D在AB同側(cè)，∠C＝∠D．

求證：△ABC和△ABD有公共外接圓．

如圖所示，AB、CD都是圓的弦，且AB∥CD，F(xiàn)為圓上一點(diǎn)，延長(zhǎng)FD、AB交于點(diǎn)E．

求證：AE·AC＝AF·DE．

如圖，⊙O₁、⊙O₂交于點(diǎn)M、N，直線AB過M，于⊙O₁、⊙O₂分別交于點(diǎn)A、B，直線CD過點(diǎn)N，與⊙O₁、⊙O₂分別交于點(diǎn)C、D．求證：AC∥BD．

兩圓相交于A、B，過A作兩直線分別交兩圓于C、D和E、F．若∠EAB＝∠DAB，求證：CD＝EF．