已知函數(shù)．

(Ⅰ)若曲線y＝f(x)在x＝1和x＝3處的切線互相平行，求a的值；

(Ⅱ)求f(x)的單調區(qū)間；

(Ⅲ)設g(x)＋x²－2x，若對任意x₁∈(0，2]，均存在x₂∈(0，2]，使得f(x₁)＜g(x₂)，求a的取值范圍．

已知橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為短軸一個端點到右焦點的距離為．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)設直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值．

數(shù)列{a_n}中，a₁＝8，a₄＝2，滿足a_n＋2＝2_a＋1－a_n，n∈N^*．

(1)求數(shù)列{a_n}的通項公式；

(2)設b_n＝，求最大的整數(shù)m，使得對任意n∈N^*，均有成立．

如圖，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝1，AC＝AA₁＝，∠ABC＝60°．

(Ⅰ)證明：AB⊥A₁C；

(Ⅱ)求二面角A－A₁C－B的余弦值．

已知動點M到點F(1，0)的距離等于它到直線x＝－1的距離．

(1)求點M的軌跡C的方程；

(2)過點F任意作互相垂直的兩條直線l₁，l₂，分別交曲線C于點A，B和M，N．

設線段AB，MN的中點分別為P，Q，求證：直線PQ恒過一個定點．

長方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝，AB＝BC＝2，O是底面對角線的交點．

(1)求證：A₁O⊥平面BC₁D；

(2)求三棱錐A₁－DBC₁的體積．

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₂＝4，a₅＝10；數(shù)列{b_n}的前n項和是T_n，且T_n＋b_n＝1．

(1)求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；

(2)記c_n＝a_n·b_n，求{c_n}的前n項和S_n．

已知函數(shù)y＝f(x)的定義域為(0，＋∞)，且對任意的正實數(shù)x，y，均有f(xy)＝f(x)＋f(y)恒成立，已知f(2)＝1，且當x＞1時，f(x)＞0

(1)求的值，并判斷f(x)在(0，＋∞)上的單調性(說明理由)

(2)一個各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}，它的前n項和是S_n，若a₁＝3，且f(s_n)＝f(a_n)＋f(a_n＋1)－1(n≥2，n∈N^*)，求數(shù)列{a_n}的通項公式．

(3)在(2)的條件下，是否存在實數(shù)M，使對一切正整數(shù)n均成立，若存在，求出M的范圍，否則，請說明理由．

已知橢圓的一個頂點A(0，－1)，焦點在x軸上，其右焦點到直線的距離為3，①求橢圓的標準方程；②橢圓與直線y＝kx＋m(k≠0)相交于不同兩點M、N，當|AM|＝|AN|時，求m的取值范圍．

已知f(x)＝ax－a－x(a＞0且a≠1)，

①判斷函數(shù)f(x)的單調性；

②若，g(x)＝a^2x＋a^－2x－2mg(x)在[1，＋∞)的最小值為－2，求實數(shù)m的值．