曲線都是以原點(diǎn)O為對稱中心、坐標(biāo)軸為對稱軸、離心率相等的橢圓.點(diǎn)M的坐標(biāo)是（0,1）,線段MN是曲線的短軸，并且是曲線的長軸 . 直線與曲線交于A,D兩點(diǎn)（A在D的左側(cè)），與曲線交于B,C兩點(diǎn)（B在C的左側(cè)）．
（1）當(dāng)=，時(shí)，求橢圓的方程；
（2）若，求的值．

已知離心率為的橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最長距離為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖，過橢圓的左焦點(diǎn)任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的弦，若點(diǎn)在軸上，且使得為的一條內(nèi)角平分線，則稱點(diǎn)為該橢圓的“左特征點(diǎn)”，求橢圓的“左特征點(diǎn)”的坐標(biāo)．

已知橢圓的長軸長為，離心率為，分別為其左右焦點(diǎn)．一動圓過點(diǎn)，且與直線相切．
（1）求橢圓及動圓圓心軌跡的方程；
（2） 在曲線上有兩點(diǎn)、，橢圓上有兩點(diǎn)、，滿足與共線，與共線，且，求四邊形面積的最小值．

已知拋物線，直線截拋物線C所得弦長為.
（1）求拋物線的方程；
（2）已知是拋物線上異于原點(diǎn)的兩個動點(diǎn)，記若試求當(dāng)取得最小值時(shí)的最大值.

在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)）.若以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ) 求曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ) 求直線被曲線所截得的弦長.

如圖，已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為G，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D、E兩點(diǎn)．

（Ⅰ）若點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為，求直線AB的斜率；
（Ⅱ）記△GFD的面積為S₁，△OED（O為原點(diǎn)）的面積為S₂．
試問：是否存在直線AB，使得S₁=S₂？說明理由．

橢圓與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，為橢圓第一象限上的點(diǎn)，直線交橢圓于另一點(diǎn)，橢圓左焦點(diǎn)為，連接交于點(diǎn)D。
（1）如果，求橢圓的離心率； 
（2）在（1）的條件下，若直線的傾斜角為且△ABC的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)連線的斜率之積等于非零常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，加上 兩點(diǎn)，所成的曲線可以是圓，橢圓或雙曲線．
（Ⅰ）求曲線的方程，并討論的形狀與值的關(guān)系;
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的曲線為；對給定的，對應(yīng)的曲線為，若曲線的斜率為的切線與曲線相交于兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求曲線的方程．

已知橢圓過點(diǎn)，橢圓左右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，為等邊三角形.定義橢圓C上的點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”為.
（1）求橢圓C的方程；
（2）求的最大值；
（3）直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn),若點(diǎn)A、B的“伴隨點(diǎn)”分別是P、Q,且以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O.橢圓C的右頂點(diǎn)為D，試探究ΔOAB的面積與ΔODE的面積的大小關(guān)系,并證明.

已知橢圓過點(diǎn),其長軸、焦距和短軸的長的平方依次成等差數(shù)列.直線與軸正半軸和軸分別交于點(diǎn)、，與橢圓分別交于點(diǎn)、,各點(diǎn)均不重合且滿足
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若，試證明：直線過定點(diǎn)并求此定點(diǎn).