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曲線都是以原點(diǎn)O為對稱中心、坐標(biāo)軸為對稱軸、離心率相等的橢圓.點(diǎn)M的坐標(biāo)是(0,1),線段MN是曲線的短軸,并且是曲線的長軸 . 直線與曲線交于A,D兩點(diǎn)(A在D的左側(cè)),與曲線交于B,C兩點(diǎn)(B在C的左側(cè)).
(1)當(dāng)=,時(shí),求橢圓的方程;
(2)若,求的值.
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已知離心率為的橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最長距離為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)如圖,過橢圓的左焦點(diǎn)任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的弦,若點(diǎn)在軸上,且使得為的一條內(nèi)角平分線,則稱點(diǎn)為該橢圓的“左特征點(diǎn)”,求橢圓的“左特征點(diǎn)”的坐標(biāo).
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已知橢圓的長軸長為,離心率為,分別為其左右焦點(diǎn).一動圓過點(diǎn),且與直線相切.
(1)求橢圓及動圓圓心軌跡的方程;
(2) 在曲線上有兩點(diǎn)、,橢圓上有兩點(diǎn)、,滿足與共線,與共線,且,求四邊形面積的最小值.
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已知拋物線,直線截拋物線C所得弦長為.
(1)求拋物線的方程;
(2)已知是拋物線上異于原點(diǎn)的兩個動點(diǎn),記若試求當(dāng)取得最小值時(shí)的最大值.
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在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).若以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則曲線C的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ) 求曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ) 求直線被曲線所截得的弦長.
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如圖,已知橢圓的左焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為G,AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D、E兩點(diǎn).
(Ⅰ)若點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為,求直線AB的斜率;
(Ⅱ)記△GFD的面積為S1,△OED(O為原點(diǎn))的面積為S2.
試問:是否存在直線AB,使得S1=S2?說明理由.
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橢圓與軸負(fù)半軸交于點(diǎn),為橢圓第一象限上的點(diǎn),直線交橢圓于另一點(diǎn),橢圓左焦點(diǎn)為,連接交于點(diǎn)D。
(1)如果,求橢圓的離心率;
(2)在(1)的條件下,若直線的傾斜角為且△ABC的面積為,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
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平面內(nèi)與兩定點(diǎn)連線的斜率之積等于非零常數(shù)的點(diǎn)的軌跡,加上 兩點(diǎn),所成的曲線可以是圓,橢圓或雙曲線.
(Ⅰ)求曲線的方程,并討論的形狀與值的關(guān)系;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),對應(yīng)的曲線為;對給定的,對應(yīng)的曲線為,若曲線的斜率為的切線與曲線相交于兩點(diǎn),且(為坐標(biāo)原點(diǎn)),求曲線的方程.
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已知橢圓過點(diǎn),橢圓左右焦點(diǎn)分別為,上頂點(diǎn)為,為等邊三角形.定義橢圓C上的點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求的最大值;
(3)直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn),若點(diǎn)A、B的“伴隨點(diǎn)”分別是P、Q,且以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O.橢圓C的右頂點(diǎn)為D,試探究ΔOAB的面積與ΔODE的面積的大小關(guān)系,并證明.
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已知橢圓過點(diǎn),其長軸、焦距和短軸的長的平方依次成等差數(shù)列.直線與軸正半軸和軸分別交于點(diǎn)、,與橢圓分別交于點(diǎn)、,各點(diǎn)均不重合且滿足
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若,試證明:直線過定點(diǎn)并求此定點(diǎn).
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