求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
（1）y=2x³+log₂x；
（2）y=

cosx

sinx

+2^x．

求與雙曲線

x2

16

-

y2

4

=1有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)（3

2

，2）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并寫出其漸近線方程．

若x，y∈R⁺，且

1

x

+

4

y

=1，求u=x+y的最小值．

設(shè)函數(shù)f（x）=alnx+bx²+x的極值點(diǎn)是x=1和x=2．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在[1，3]上的最大值．

學(xué)習(xí)曲線是1936年美國(guó)廉乃爾大學(xué)T．P．Wright博士在飛機(jī)制造過(guò)程中，通過(guò)對(duì)大量有關(guān)資料、案例的觀察、分析、研究，首次發(fā)現(xiàn)并提出來(lái)的．已知某類學(xué)習(xí)任務(wù)的學(xué)習(xí)曲線為：f（t）=

3

4+a•2-t

•100%（其中f（t）為掌握該任務(wù)的程度，t為學(xué)習(xí)時(shí)間），且這類學(xué)習(xí)任務(wù)中的某項(xiàng)任務(wù)滿足f（2）=60%．
（1）求f（t）的表達(dá)式，計(jì)算f（0）并說(shuō)明f（0）的含義；
（2）若定義

f(t)

2t-1

為該類學(xué)習(xí)任務(wù)在t時(shí)刻的學(xué)習(xí)效率指數(shù)，研究表明，當(dāng)學(xué)習(xí)時(shí)間t∈（1，2）時(shí)，學(xué)習(xí)效率最佳．當(dāng)學(xué)習(xí)效率最佳時(shí)，求學(xué)習(xí)效率指數(shù)相應(yīng)的取值范圍．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

6

3

，且橢圓C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P滿足

OP

=

OM

+3

ON

，其中M、N是橢圓上不同兩點(diǎn)，直線OM、ON的斜率之積為-

1

3

，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是S_n，且2S_n=2-a_n．求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

已知函數(shù)f（x）=x-ln（x+a）（a是常數(shù)）． 
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)y=f（x）在x=1處取得極值時(shí)，若關(guān)于x的方程f（x）+2x=x²+b在[

1

2

，2]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）求證：當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，（1+

1

22

）（1+

1

32

）…（1+

1

n2

）＜e．

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a、b、c、d∈R）圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取極小值-

2

3

（Ⅰ）求a、b、c、d的值；
（Ⅱ）若x₁，x₂∈[-1，1]時(shí)，求證：|f（x₁）-f（x₂）|≤

4

3

．
（Ⅲ）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，圖象上是否存在兩點(diǎn)，使得過(guò)此兩點(diǎn)處的切線互相垂直？試證明你的結(jié)論．

已知函數(shù)f（x）=xlnx-ax²，x＞0
（1）當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若在區(qū)間（2，3）內(nèi)任取實(shí)數(shù)p，q（p＞q）都有不等式

f(p)-f(q)

p-q

＜1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂（0＜x₁＜x₂），求證：f（x₂）＞-

1

2

．