已知a_n=4ⁿ+15n-1（n∈N^*）．
（1）計(jì)算a₁，a₂，a₃；猜想是否存在最大的正整數(shù)m，使得a_n能被m整除；
（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中猜想的結(jié)論．

PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動(dòng)力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．根據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB3095-2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米-75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)．從某自然保護(hù)區(qū)某年全年每天的PM2.5日均值檢測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取12天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值如莖葉圖所示（十位為莖，個(gè)位為葉）
（1）求空氣質(zhì)量為超標(biāo)的數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差；
（2）從空氣質(zhì)量為二級(jí)的數(shù)據(jù)中任取兩個(gè)，求這兩個(gè)數(shù)據(jù)的和小于等于100的概率．

設(shè)a∈R，函數(shù)y=lg（ax²-2x-2a）的定義域?yàn)锳，不等式x²-4x+3＜0的解集為B，若A∩B≠∅，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

已知條件p：|2x-1|＞1；條件q：x²-（2a+1）x+a（a+1）＜0，若?p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，向量

AB

=（S_n，

1

4

-a_n），其中n∈N^*，

CD

=（1，-

1

2

），且滿足

AB

∥

CD

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在正整數(shù)M，使得當(dāng)n＞M時(shí)，a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₇₈恒成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若數(shù)列對(duì)任意的n∈N^*都有b₁a_n+b₂a_n-1+b₃a_n-2+…+b_n-1a₂+b_na₁=2ⁿ-

n

2

-1，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且Sn=-

1

3

(an-1)(n∈N*)．
（1）求a₁、a₂的值；
（2）證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（3）若bn=anlog

1

4

an，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

計(jì)算：由直線x=1、x=2、曲線y=

1

x

及x軸所圍圖形的面積．

已知圓心在y軸上的圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3）和B（4，1），過(guò)點(diǎn)M（-3，-3）的直線被截得弦長(zhǎng)為4

5

，求直線l的方程．

設(shè)f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax²-x（a∈R）
（Ⅰ）若a=0求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)及相應(yīng)的極值；
（Ⅱ）若對(duì)任意x∈（0，+∞），f（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

已知函數(shù)f（x）=lnx-

a(x-1)

x+1

，a∈R．
（1）若x=2是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍．