在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊的長分別為a，b，c，證明下面問題．
（Ⅰ）

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

+abc≥2

3

；
（Ⅱ）

1

A

+

1

B

+

1

C

≥

9

π

．

角A、B、C為△ABC的三個內(nèi)角，且角B滿足sinB+cos（B+

π

6

）=

3

2

．
（1）求角B的值；
（2）若sinA+sinC＞k恒成立，試求實數(shù)k的取值范圍．

已知函數(shù)f（x）=（a+1）lnx+ax²+1，且a≤-2．
證明：對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|．

已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c分別為△ABC所對的邊．求證：

1

a+b

+

1

b+c

=

3

a+b+c

（注：可以用分析法證明）

已知函數(shù)f（x）=4cosx•sin（x+

π

6

）+a的最大值為2．
（1）求a的值及f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

高三年級某班的所有考生全部參加了“語文”和“數(shù)學”兩個科目的學業(yè)水平考試．其中“語文”和“數(shù)學”的兩科考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖（按[0，10），[10，20），…，[80，90），[90，100）分組）所示，其中“數(shù)學”科目的成績在[70，80），分數(shù)段的考生有16人．
（1）求該班考生“語文”科目成績在[90，100），分數(shù)段的人數(shù)；
（2）根據(jù)數(shù)據(jù)合理估計該班考生“數(shù)學”科目成績的平均分，并說明理由；
（3）若要從“數(shù)學”科目分數(shù)在[50，60）和[90，100）之間的試卷中任取兩份分析學生的答題情況，在抽取的試卷中，求至少有一份分數(shù)在[50，60）之間的概率．

已知函數(shù)f（x）=sinx+acosx的圖象經(jīng)過點（-

π

3

，0）．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期與單調(diào)遞增區(qū)間．

（1）用綜合法證明：a+b+c≥

ab

+

bc

+

ca

（a，b，c∈R⁺）
（2）用反證法證明：若a，b，c均為實數(shù)，且a=x²-2y+

π

2

，b=y²-2z+

π

3

，c=z²-2x+

π

6

，求證：a，b，c中至少有一個大于0．

為了了解調(diào)研高一年級新學生的智力水平，某校按l 0%的比例對700名高一學生按性別分別進行“智力評分”抽樣檢查，測得“智力評分”的頻數(shù)分布表如表l，表2．
表1：男生“智力評分”頻數(shù)分布表

智力評分	[160，165）	[165，170）	[170，175）	[175，180）	[180，185）	[185，190）
頻數(shù)	2	5	14	13	4	2

表2：女生“智力評分”頻數(shù)分布表

智力評分	[150，155）	[155，160）	[160，165）	[165，170）	[170，175）	[175，180）
頻數(shù)	1	7	12	6	3	1

（Ⅰ）求高一的男生人數(shù)并完成如圖所示的男生的頻率分布直方圖；
（Ⅱ）估計該校學生“智力評分”在[165，180）之間的概率；
（Ⅲ）從樣本中“智力評分”在[180，190）的男生中任選2人，求至少有1人“智力評分”在[185，190）之間的概率．

如圖1，在邊長為3的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點，AD=AE，F(xiàn)是BC的中點，AF與DE交于點G，將△ABF沿AF折起，得到如圖2所示的三棱錐A-BCF，其中BC=

3 2

2

．
（Ⅰ）證明：DE∥平面BCF；
（Ⅱ）證明：CF⊥平面ABF；
（Ⅲ）當AD=

2

3

AB時，求三棱錐F-DEG的體積V_D-EFG．