在平面直角坐標(biāo)系中，已知

a

=(2mx，y-1)，

b

=(2x，y+1)，其中m∈R，

a

⊥

b

，動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡為C．
（1）求軌跡C的方程，并說(shuō)明該軌跡方程所表示曲線的形狀；
（2）當(dāng)m=

1

8

時(shí)，設(shè)過(guò)定點(diǎn)P（0，2）的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍．

設(shè)a∈R，f(x)=

x

|x-a|
（1）若函數(shù)f（x）在[0，+∞）為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)a＞0，
（i）證明：函數(shù)F(x)=f(x)-

1

2

x有3個(gè)零點(diǎn)；
（ii）若存在實(shí)數(shù)t（t＞a），當(dāng)x∈[0，t]時(shí)函數(shù)f（x）的值域?yàn)?span id="npfxnzn" class="MathJye">[0，

t

2

]，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

判斷并證明：函數(shù)f（x）=

2x+3

x+1

在（-1，﹢∞）上的單調(diào)性．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，焦距為2，一條準(zhǔn)線方程為x=2．P為橢圓C上一點(diǎn)，直線PF₁交橢圓C于另一點(diǎn)Q．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，b），求過(guò)P，Q，F(xiàn)₂三點(diǎn)的圓的方程；
（3）若

F1P

=λ

QF1

，且λ∈[

1

2

，2]，求

OP

•

OQ

的最大值．

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右兩焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，p是橢圓上一點(diǎn)，且在x軸上方，PF₂⊥F₁F₂，PF₂=λPF₁，λ∈[

1

3

，

1

2

]．
（1）求橢圓的離心率e的取值范圍；
（2）當(dāng)e取最大值時(shí)，過(guò)F₁，F(xiàn)₂，P的圓Q的截y軸的線段長(zhǎng)為6，求橢圓的方程；
（3）在（2）的條件下，過(guò)橢圓右準(zhǔn)線l上任一點(diǎn)A引圓Q的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N．試探究直線MN是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知雙曲線的方程為5x²-4y²=20兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂．
（1）求此雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程；
（2）若橢圓與此雙曲線有共同的焦點(diǎn)，且有一公共點(diǎn)P滿足|PF₁|•|PF₂|=6，求橢圓的方程．

如圖，設(shè)拋物線C1：y2=4mx(m＞0)的準(zhǔn)線與x軸交于F₁，且C₁的焦 點(diǎn)為F₂；以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，離心率e=

1

2

的橢圓C₂與拋物線C₁在x軸上方的一個(gè)交點(diǎn)為P．
（Ⅰ）是否存在實(shí)數(shù)m，使得△PF₁F₂的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實(shí)數(shù)m，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅱ）若m=1，直線l經(jīng)過(guò)橢圓C₂的右焦點(diǎn)F₂，且與拋物線C₁交于A₁，A₂，以線段A₁A₂為直徑作圓，若圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，求直線l的斜率．

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，若△OAB的面積為

3

（其中點(diǎn)O是橢圓的中心），橢圓的離心率為

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）請(qǐng)問(wèn)：是否存在過(guò)點(diǎn)P(0，2

3

)的直線l與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，使得點(diǎn)N恰好是線段PM的中點(diǎn)，若存在，請(qǐng)求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，?n∈N^*，a_n+1=

2an

2+an

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：?n∈N^*，

n

i=1

ai2＜3．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），直線x-

3

y+

3

=0經(jīng)過(guò)橢圓C的上頂點(diǎn)B和左焦點(diǎn)F，設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F′．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)P是橢圓C上動(dòng)點(diǎn)，求|4-（|PF′|+|PB|）|的取值范圍，并求取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．