如圖，設(shè)E：＋＝1(a＞b＞0)的焦點為F₁與F₂，且P∈E，∠F₁PF₂＝2θ.求證：△PF₁F₂的面積S＝b²tanθ.

若雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F₁、F₂，線段F₁F₂被拋物線y²＝2bx的焦點分成7∶3的兩段，則此雙曲線的離心率為________．

如圖，已知橢圓C的方程為＋y²＝1，A、B是四條直線x＝±2，y＝±1所圍成的矩形的兩個頂點．

(1) 設(shè)P是橢圓C上任意一點，若，求證：動點Q(m，n)在定圓上運動，并求出定圓的方程；

(2) 若M、N是橢圓C上兩個動點，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，并說明理由．

給定橢圓C：＋＝1(a>b>0)，稱圓心在原點O、半徑是的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C的一個焦點為F(，0)，其短軸的一個端點到點F的距離為.

(1) 求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程；

(2) 若點A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸正半軸的交點，B、D是橢圓C上的兩相異點，且BD⊥x軸，求·的取值范圍；

(3) 在橢圓C的“準(zhǔn)圓”上任取一點P，過點P作直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓C都只有一個交點，試判斷l(xiāng)₁，l₂是否垂直？并說明理由．

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C：(x＋1)²＋y²＝16，點F(1，0)，E是圓C上的一個動點，EF的垂直平分線PQ與CE交于點B，與EF交于點D.

(1) 求點B的軌跡方程；

(2) 當(dāng)點D位于y軸的正半軸上時，求直線PQ的方程；

(3) 若G是圓C上的另一個動點，且滿足FG⊥FE，記線段EG的中點為M，試判斷線段OM的長度是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

如圖，過拋物線C：y²＝4x上一點P(1，－2)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，分別與拋物線交于點A(x_，y₁)，B(x₂，y₂)．

(1) 求y₁＋y₂的值；

(2) 若y₁≥0，y₂≥0，求△PAB面積的最大值．

 設(shè)拋物線y²＝8x的準(zhǔn)線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是________．

已知雙曲線－＝1的離心率為2，焦點到漸近線的距離等于，過右焦點F₂的直線l交雙曲線于A、B兩點，F(xiàn)₁為左焦點．

(1) 求雙曲線的方程；

(2) 若△F₁AB的面積等于6，求直線l的方程．

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的一個頂點為A(2，0)，離心率為.直線y＝k(x－1)與橢圓C交于不同的兩點M，N.

(1) 求橢圓C的方程；

(2) 當(dāng)△AMN的面積為時，求k的值．

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓＋＝1的左、右頂點為A、B，右焦點為F.設(shè)過點T(t，m)的直線TA、TB與橢圓分別交于點M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，其中m>0，y₁>0，y₂<0.

(1) 設(shè)動點P滿足PF²－PB²＝4，求點P的軌跡；

(2) 設(shè)x₁＝2，x₂＝，求點T的坐標(biāo)；

(3) 設(shè)t＝9，求證：直線MN必過x軸上的一定點(其坐標(biāo)與m無關(guān))．