16．雙曲線x²-y²=1的頂點到其漸近線的距離等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

15．對于雙曲線C_（a，b）：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），若點P（x₀，y₀）滿足$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}$＜1，則稱P在C_（a，b）的外部，若點P（x₀，y₀）滿足$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}$＞1，則稱C_{（a，b）}在的內(nèi)部；
（1）若直線y=kx+1上的點都在C_（1，1）的外部，求k的取值范圍；
（2）若C_{（a，b）}過點（2，1），圓x²+y²=r²（r＞0）在C_（a，b）內(nèi)部及C_（a，b）上的點構成的圓弧長等于該圓周長的一半，求b、r滿足的關系式及r的取值范圍；
（3）若曲線|xy|=mx²+1（m＞0）上的點都在C_{（a，b）}的外部，求m的取值范圍．

14．若雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一個焦點到一條漸近線的距離等于焦距的$\frac{1}{4}$，則該雙曲線的離心率為（　�。�

A．

$\frac{\sqrt{2}}{3}$

B．

$\frac{2\sqrt{2}}{3}$

C．

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

D．

$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

13．對于雙曲線C_{（a，b）}：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），若點P（x₀，y₀）滿足$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}$＜1，則稱P在的C_（a，b）外部；若
若點P（x₀，y₀）滿足$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}$＞1，則稱P在的C_{（a，b）}內(nèi)部：
（1）證明：直線3x-y+1=0上的點都在C_{（1，1）}的外部；
（2）若點M的坐標為（0，-1），點N在C_{（1，1）}的內(nèi)部或C_（1，1）上，求|$\overrightarrow{MN}$|的最小值；
（3）若C_（a，b）經(jīng)過點（2，1），圓x²+y²=r²（r＞0）在C_（a，b）內(nèi)部及C_{（a，b）}上的點構成的圓弧長等于該圓周長的一半，求b、r滿足的關系式及r的取值范圍．

12．已知直線y=2x是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一條漸近線，點A（1，0），M（m，n）（n≠0）都在雙曲線C上，直線AM與y軸相交于點P，設坐標原點為O．
（1）求雙曲線C的方程，并求出點P的坐標（用m，n表示）；
（2）設點M關于y軸的對稱點為N，直線AN與y軸相交于點Q，問：在x軸上是否存在定點T，使得TP⊥TQ？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）若過點D（0，2）的直線l與雙曲線C交于R，S兩點，且|$\overrightarrow{OR}$+$\overrightarrow{OS}$|=|$\overrightarrow{RS}$|，試求直線l的方程．

11．已知雙曲線：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，焦距為2c，直線y=$\sqrt{3}$（x+c）與雙曲線的一個交點M滿足∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，則雙曲線的離心率為（　　）

A．

$\sqrt{2}$

B．

$\sqrt{3}$

C．

2

D．

$\sqrt{3}$+1

10．已知O為坐標原點，雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-{y^2}=1（a＞0）$上有一點P，過點P作雙曲線C的兩條漸近線的平行線，與兩漸近線的交點分別為A，B，若平行四邊形OAPB的面積為1，則雙曲線C的離心率為（　　）

A．

$\sqrt{2}$

B．

$\sqrt{3}$

C．

2

D．

$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$

9．已知點A（-4，0），直線l：x=-1與x軸交于點B，動點M到A，B兩點的距離之比為2．
（Ⅰ）求點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設C與x軸交于E，F(xiàn)兩點，P是直線l上一點，且點P不在C上，直線PE，PF分別與C交于另一點S，T，證明：A，S，T三點共線．

8．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項為和S_n，且a₃-2a₂=0，S₃=7．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列$\left\{{\frac{n}{a_n}}\right\}$的前n項和T_n．

7．已知F是雙曲線C：x²-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1的右焦點，若P是C的左支上一點，A（0，6$\sqrt{6}$）是y軸上一點，則△APF面積的最小值為6+9$\sqrt{6}$．