Question

11．已知雙曲線：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，焦距為2c，直線y=$\sqrt{3}$（x+c）與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)M滿足∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 由已知直線過(guò)左焦點(diǎn)F₁，且其傾斜角為60°，∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，可得∠MF₁F₂=60°，∠MF₂F₁=30°，即F₁M⊥F₂M，運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)和雙曲線的定義，由離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：∵直線y=$\sqrt{3}$（x+c）過(guò)左焦點(diǎn)F₁，且其傾斜角為60°，
∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，
∴∠MF₁F₂=60°，∠MF₂F₁=30°．
∴∠F₁MF₂=90°，即F₁M⊥F₂M．
∴|MF₁|=$\frac{1}{2}|{F_1}{F_2}|=c$，|MF₂|=$|{F_1}{F_2}|sin{60^0}=\sqrt{3}c$，
由雙曲線的定義有：|MF₂|-|MF₁|=$\sqrt{3}c-c$=2a，
∴離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{c}{{\frac{{\sqrt{3}c-c}}{2}}}=\sqrt{3}+1$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的定義和直角三角形的銳角三角函數(shù)的定義，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．