Question

10．已知O為坐標原點，雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-{y^2}=1（a＞0）$上有一點P，過點P作雙曲線C的兩條漸近線的平行線，與兩漸近線的交點分別為A，B，若平行四邊形OAPB的面積為1，則雙曲線C的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$

Answer 1

分析 求得雙曲線的漸近線方程，設P（m，n）是雙曲線上任一點，設過P平行于x+ay=0的直線為l，求得l的方程，聯(lián)立另一條漸近線可得交點A，|OA|，求得P到OA的距離，由平行四邊形的面積公式，化簡整理，解方程可得a=2，求得c，進而得到所求雙曲線的離心率．

解答 解：由雙曲線方程可得漸近線方程x±ay=0，
設P（m，n）是雙曲線上任一點，設過P平行于x+ay=0的直線為l，
則l的方程為：x+ay-m-an=0，l與漸近線x-ay=0交點為A，
則A（$\frac{m+an}{2}$，$\frac{m+an}{2a}$），|OA|=|$\frac{m+an}{2}$|$\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}$，
P點到OA的距離是：$d=\frac{{|{m-an}|}}{{\sqrt{1+{a^2}}}}$，
∵|OA|•d=1，∴|$\frac{m+an}{2}$|•$\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}$.$\frac{{|{m-an}|}}{{\sqrt{1+{a^2}}}}$=1，
∵$\frac{m^2}{a^2}-{n^2}=1$，∴a=2，∴$c=\sqrt{5}$，
∴$e=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用漸近線方程和兩直線平行的條件：斜率相等，聯(lián)立方程求交點，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．