7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$         
（1 ） 寫出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)在區(qū)間（a，a+$\frac{1}{2}$）（其中a＞0）上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）求證：當(dāng)x≥1時，不等式f（x）＞$\frac{2sinx}{x+1}$恒成立．

6．設(shè)函數(shù)f（x）=x（e^x-1）-ax²（e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）若a=$\frac{1}{2}$，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)x≥0時f（x）＞0，求a的取值范圍；
（3）設(shè)n∈N^*，x＞0，求證：e^x＞1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+$\frac{{x}^{n}}{n!}$（其中ni=n×（n-1）×…×2×1）．

5．已知函數(shù)f（x）=ln（ax）（a≠0，a∈R），g（x）=$\frac{x-1}{x}$．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，記φ（x）=f（x）-$\frac{x+1}{x-1}$，求函數(shù)φ（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x）（x≥1）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ） 已知對于0＜λ＜1，恒有$\frac{{1+{k^λ}}}{2}≤{（\frac{1+k}{2}）^λ}$（k∈N^*）成立；當(dāng)a=1且0＜λ＜1時，對任意n∈N^*，試比較$\sum_{k=1}^n{\frac{1}{{1+{k^λ}}}}$與f[（1+n）^λ2^n（1-λ）]的大�。�

4．已知f（x）=x³+ax²+bx+c，若f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減，則a²+b²的取值范圍為$[{\frac{9}{5}，+∞}）$．

3．已知函數(shù)f（x）=x³-6x²+3x+t，h（x）=e^x，t∈R．F（x）=f（x）•h（x）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．
（Ⅱ）若函數(shù)F（x） 依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）處取到極值．求t的取值范圍；
（Ⅲ）若a+c=2b²，①求t的值．  ②若存在實數(shù)t∈[0，2]，使對任意的x∈[1，m]，不等式 F（x）≤x恒成立．求正整數(shù)m的最大值．

2．設(shè)f（x）=（x+a）lnx-ax+1
（1）a=0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a≥1，對任意的x∈[$\frac{1}{2}$，1]，求f（x）的最大值．

1．設(shè)函數(shù)f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$x²．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）已知a為正實數(shù)，若不等式f（x）≥（b+$\frac{1}{2}$）x²+ax的解集不為空，求a（b+1）的最大值．

12．求函數(shù)y=1+2sin（$\frac{π}{6}$-x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

11．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，如果對于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=c（c為常數(shù)），則稱函數(shù)f（x）在D上均值為c．下列五個函數(shù)：①y=x；②y=|x|；③y=x²；④y=$\frac{1}{x}$；⑤y=x+$\frac{1}{x}$．則滿足在其定義域上均值為2的所有函數(shù)的序號是①．

10．已知函數(shù)f（x）=（m²-m+1）${x}^{\frac{{m}^{2}-2m-1}{2}}$是冪函數(shù)，且圖象不經(jīng)過原點．
（1）求f（4）的值；
（2）解方程f（|x|）=2．