Question

7．已知函數f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$         
（1 ） 寫出f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）若函數在區(qū)間（a，a+$\frac{1}{2}$）（其中a＞0）上存在極值，求實數a的取值范圍；
（3）求證：當x≥1時，不等式f（x）＞$\frac{2sinx}{x+1}$恒成立．

Answer 1

分析 （1）先求f（x）的定義域，再求導f′（x）=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，從而由導數求函數的單調性；
（2）由（1）知，a＜1＜a+$\frac{1}{2}$，從而解得；
（3）令g（x）=$\frac{1+lnx}{x}$-$\frac{2}{x+1}$=$\frac{（x+1）（1+lnx）-2x}{x（x+1）}$，從而可證明$\frac{1+lnx}{x}$≥$\frac{2}{x+1}$，（當且僅當x=1時，等號成立）；再由$\frac{2sinx}{x+1}$≤$\frac{2}{x+1}$，（當且僅當sinx=1時，等號成立）；從而證明．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$的定義域為（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1-1-lnx}{{x}^{2}}$=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
當x∈（0，1）時，f′（x）＞0；
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0；
故f（x）的單調增區(qū)間為（0，1）；
（2）∵函數f（x）在區(qū)間（a，a+$\frac{1}{2}$）（其中a＞0）上存在極值，
∴a＜1＜a+$\frac{1}{2}$，
解得，$\frac{1}{2}$＜a＜1；
（3）證明：令g（x）=$\frac{1+lnx}{x}$-$\frac{2}{x+1}$=$\frac{（x+1）（1+lnx）-2x}{x（x+1）}$，
令h（x）=（x+1）（lnx+1）-2x，
h′（x）=lnx+1+$\frac{1}{x}$+1-2=lnx+$\frac{1}{x}$＞0；
故h（x）在[1，+∞）上是增函數，
故g（x）≥g（1）=0；
故$\frac{1+lnx}{x}$≥$\frac{2}{x+1}$，（當且僅當x=1時，等號成立）；
又∵$\frac{2sinx}{x+1}$≤$\frac{2}{x+1}$，（當且僅當sinx=1時，等號成立）；
∴在x=1時，等號不能同時成立；
故當x≥1時，不等式f（x）＞$\frac{2sinx}{x+1}$恒成立．

點評 本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題的應用，同時考查了不等式的化簡與應用．